Theorem ssint 3631

Description: Subclass of a class intersection. Theorem 5.11(viii) of [Monk1] p. 52 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ssint	|- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 2935	. 2 |- ( A C_ |^| B <-> A. y e. A y e. |^| B )
2		vex 2560	. . . 4 |- y e. _V
3	2	elint2 3622	. . 3 |- ( y e. |^| B <-> A. x e. B y e. x )
4	3	ralbii 2330	. 2 |- ( A. y e. A y e. |^| B <-> A. y e. A A. x e. B y e. x )
5		ralcom 2473	. . 3 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
6		dfss3 2935	. . . 4 |- ( A C_ x <-> A. y e. A y e. x )
7	6	ralbii 2330	. . 3 |- ( A. x e. B A C_ x <-> A. x e. B A. y e. A y e. x )
8	5, 7	bitr4i 176	. 2 |- ( A. y e. A A. x e. B y e. x <-> A. x e. B A C_ x )
9	1, 4, 8	3bitri 195	1 |- ( A C_ |^| B <-> A. x e. B A C_ x )

Syntax hints:   <-> wb 98   e. wcel 1393   A.wral 2306   C_ wss 2917   |^|cint 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-int 3616

This theorem is referenced by:  ssintab  3632  ssintub  3633  iinpw  3742  trint  3869  fintm  5075  bj-ssom  10060