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Theorem strcollnft 9982
Description: Closed form of strcollnf 9983. Version of ax-strcoll 9980 with one DV condition removed, the other DV condition replaced by a non-freeness antecedent, and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 21-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
strcollnft  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
Distinct variable group:    a, b, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, a, b)

Proof of Theorem strcollnft
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 strcoll2 9981 . 2  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
2 nfnf1 1436 . . . . 5  |-  F/ b F/ b ph
32nfal 1468 . . . 4  |-  F/ b A. y F/ b
ph
43nfal 1468 . . 3  |-  F/ b A. x A. y F/ b ph
5 nfa2 1471 . . . 4  |-  F/ y A. x A. y F/ b ph
6 nfvd 1422 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b  y  e.  z )
7 nfa1 1434 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x F/ b ph
8 nfcvd 2179 . . . . . . . 8  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/_ b a )
9 sp 1401 . . . . . . . 8  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/ b ph )
107, 8, 9nfrexdxy 2354 . . . . . . 7  |-  ( A. x F/ b ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
1110sps 1430 . . . . . 6  |-  ( A. y A. x F/ b
ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
1211alcoms 1365 . . . . 5  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b E. x  e.  a  ph )
136, 12nfbid 1480 . . . 4  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a  ph ) )
145, 13nfald 1643 . . 3  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  F/ b A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
15 nfv 1421 . . . . . 6  |-  F/ y  z  =  b
165, 15nfan 1457 . . . . 5  |-  F/ y ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )
17 elequ2 1601 . . . . . . 7  |-  ( z  =  b  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  b ) )
1817adantl 262 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( y  e.  z  <-> 
y  e.  b ) )
1918bibi1d 222 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
2016, 19albid 1506 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y F/ b ph  /\  z  =  b )  -> 
( A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a  ph )  <->  A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
2120ex 108 . . 3  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( z  =  b  ->  ( A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
224, 14, 21cbvexd 1802 . 2  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x  e.  a 
ph )  <->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
231, 22syl5ib 143 1  |-  ( A. x A. y F/ b
ph  ->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98   A.wal 1241   F/wnf 1349   E.wex 1381   A.wral 2303   E.wrex 2304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-strcoll 9980
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309
This theorem is referenced by:  strcollnf  9983
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