Theorem strcoll2 10108

Description: Version of ax-strcoll 10107 with one DV condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
strcoll2	|- ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, x, y   ph, b

Allowed substitution hints:   ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 2505	. . 3 |- ( z = a -> ( A. x e. z E. y ph <-> A. x e. a E. y ph ) )
2		rexeq 2506	. . . . . 6 |- ( z = a -> ( E. x e. z ph <-> E. x e. a ph ) )
3	2	bibi2d 221	. . . . 5 |- ( z = a -> ( ( y e. b <-> E. x e. z ph ) <-> ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
4	3	albidv 1705	. . . 4 |- ( z = a -> ( A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) <-> A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
5	4	exbidv 1706	. . 3 |- ( z = a -> ( E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) <-> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) )
6	1, 5	imbi12d 223	. 2 |- ( z = a -> ( ( A. x e. z E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) ) ) )
7		ax-strcoll 10107	. . 3 |- A. z ( A. x e. z E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) )
8	7	spi 1429	. 2 |- ( A. x e. z E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. z ph ) )
9	6, 8	chvarv 1812	1 |- ( A. x e. a E. y ph -> E. b A. y ( y e. b <-> E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   A.wal 1241   E.wex 1381   A.wral 2306   E.wrex 2307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-strcoll 10107

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312

This theorem is referenced by:  strcollnft  10109  strcollnfALT  10111