ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssrelrel Unicode version

Theorem ssrelrel 4383
Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 4787 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrelrel 
C_  _V 
X.  _V  X.  _V  C_  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem ssrelrel
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . . 4 
C_  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
21alrimiv 1751 . . 3 
C_  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
32alrimivv 1752 . 2 
C_  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
4 elvvv 4346 . . . . . . . 8  _V 
X.  _V  X.  _V  <. <. , 
>. ,  >.
5 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. , 
>. ,  >.
6 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. , 
>. ,  >.
75, 6imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . 13  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
87biimprcd 149 . . . . . . . . . . . 12 
<. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
98alimi 1341 . . . . . . . . . . 11  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
10 19.23v 1760 . . . . . . . . . . 11  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. , 
>. ,  >.
119, 10sylib 127 . . . . . . . . . 10  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. , 
>. ,  >.
12112alimi 1342 . . . . . . . . 9  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
13 19.23vv 1761 . . . . . . . . 9  <. <. ,  >. ,  >. 
<. <. , 
>. ,  >.
1412, 13sylib 127 . . . . . . . 8  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
154, 14syl5bi 141 . . . . . . 7  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  _V  X.  _V  X.  _V
1615com23 72 . . . . . 6  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  _V  X.  _V  X.  _V
1716a2d 23 . . . . 5  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  _V  X.  _V  X.  _V
1817alimdv 1756 . . . 4  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  _V  X.  _V  X.  _V
19 dfss2 2928 . . . 4 
C_  _V 
X.  _V  X.  _V  _V  X.  _V  X.  _V
20 dfss2 2928 . . . 4 
C_
2118, 19, 203imtr4g 194 . . 3  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  C_  _V 
X.  _V  X.  _V  C_
2221com12 27 . 2 
C_  _V 
X.  _V  X.  _V 
<. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  C_
233, 22impbid2 131 1 
C_  _V 
X.  _V  X.  _V  C_  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   <.cop 3370    X. cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  eqrelrel  4384
  Copyright terms: Public domain W3C validator