Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssrelrel Structured version   GIF version

Theorem ssrelrel 4363
 Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 4767 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrelrel (A ⊆ ((V × V) × V) → (ABxyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B)))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem ssrelrel
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2912 . . . 4 (AB → (⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B))
21alrimiv 1732 . . 3 (ABz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B))
32alrimivv 1733 . 2 (ABxyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B))
4 elvvv 4326 . . . . . . . 8 (w ((V × V) × V) ↔ xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩)
5 eleq1 2078 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z A))
6 eleq1 2078 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w B ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B))
75, 6imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . 13 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → ((w Aw B) ↔ (⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B)))
87biimprcd 149 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
98alimi 1320 . . . . . . . . . . 11 (z(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → z(w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
10 19.23v 1741 . . . . . . . . . . 11 (z(w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)) ↔ (z w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
119, 10sylib 127 . . . . . . . . . 10 (z(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (z w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
12112alimi 1321 . . . . . . . . 9 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → xy(z w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
13 19.23vv 1742 . . . . . . . . 9 (xy(z w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)) ↔ (xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
1412, 13sylib 127 . . . . . . . 8 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
154, 14syl5bi 141 . . . . . . 7 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (w ((V × V) × V) → (w Aw B)))
1615com23 72 . . . . . 6 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (w A → (w ((V × V) × V) → w B)))
1716a2d 23 . . . . 5 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → ((w Aw ((V × V) × V)) → (w Aw B)))
1817alimdv 1737 . . . 4 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (w(w Aw ((V × V) × V)) → w(w Aw B)))
19 dfss2 2907 . . . 4 (A ⊆ ((V × V) × V) ↔ w(w Aw ((V × V) × V)))
20 dfss2 2907 . . . 4 (ABw(w Aw B))
2118, 19, 203imtr4g 194 . . 3 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (A ⊆ ((V × V) × V) → AB))
2221com12 27 . 2 (A ⊆ ((V × V) × V) → (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → AB))
233, 22impbid2 131 1 (A ⊆ ((V × V) × V) → (ABxyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98  ∀wal 1224   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  Vcvv 2531   ⊆ wss 2890  ⟨cop 3349   × cxp 4266 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-opab 3789  df-xp 4274 This theorem is referenced by:  eqrelrel  4364
 Copyright terms: Public domain W3C validator