ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssrelrel Structured version   GIF version

Theorem ssrelrel 4383
Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 4787 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrelrel (A ⊆ ((V × V) × V) → (ABxyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B)))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem ssrelrel
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . . 4 (AB → (⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B))
21alrimiv 1751 . . 3 (ABz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B))
32alrimivv 1752 . 2 (ABxyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B))
4 elvvv 4346 . . . . . . . 8 (w ((V × V) × V) ↔ xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩)
5 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w A ↔ ⟨⟨x, y⟩, z A))
6 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w B ↔ ⟨⟨x, y⟩, z B))
75, 6imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . 13 (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → ((w Aw B) ↔ (⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B)))
87biimprcd 149 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
98alimi 1341 . . . . . . . . . . 11 (z(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → z(w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
10 19.23v 1760 . . . . . . . . . . 11 (z(w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)) ↔ (z w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
119, 10sylib 127 . . . . . . . . . 10 (z(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (z w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
12112alimi 1342 . . . . . . . . 9 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → xy(z w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
13 19.23vv 1761 . . . . . . . . 9 (xy(z w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)) ↔ (xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
1412, 13sylib 127 . . . . . . . 8 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (xyz w = ⟨⟨x, y⟩, z⟩ → (w Aw B)))
154, 14syl5bi 141 . . . . . . 7 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (w ((V × V) × V) → (w Aw B)))
1615com23 72 . . . . . 6 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (w A → (w ((V × V) × V) → w B)))
1716a2d 23 . . . . 5 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → ((w Aw ((V × V) × V)) → (w Aw B)))
1817alimdv 1756 . . . 4 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (w(w Aw ((V × V) × V)) → w(w Aw B)))
19 dfss2 2928 . . . 4 (A ⊆ ((V × V) × V) ↔ w(w Aw ((V × V) × V)))
20 dfss2 2928 . . . 4 (ABw(w Aw B))
2118, 19, 203imtr4g 194 . . 3 (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → (A ⊆ ((V × V) × V) → AB))
2221com12 27 . 2 (A ⊆ ((V × V) × V) → (xyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B) → AB))
233, 22impbid2 131 1 (A ⊆ ((V × V) × V) → (ABxyz(⟨⟨x, y⟩, z A → ⟨⟨x, y⟩, z B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  wss 2911  cop 3370   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  eqrelrel  4384
  Copyright terms: Public domain W3C validator