Theorem raliunxp 4477

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp 4479, B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
raliunxp	|- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   B( y)

Proof of Theorem raliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliunxp 4475	. . . . . 6 |- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
2	1	imbi1i 227	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
3		19.23vv 1764	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
4	2, 3	bitr4i 176	. . . 4 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
5	4	albii 1359	. . 3 |- ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
6		alrot3 1374	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
7		impexp 250	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
8	7	albii 1359	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
9		vex 2560	. . . . . . . 8 |- y e. _V
10		vex 2560	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	9, 10	opex 3966	. . . . . . 7 |- <. y , z >. e. _V
12		ralxp.1	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
13	12	imbi2d 219	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) ) )
14	11, 13	ceqsalv 2584	. . . . . 6 |- ( A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
15	8, 14	bitri 173	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
16	15	2albii 1360	. . . 4 |- ( A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
17	6, 16	bitri 173	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
18	5, 17	bitri 173	. 2 |- ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
19		df-ral 2311	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) )
20		r2al 2343	. 2 |- ( A. y e. A A. z e. B ps <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
21	18, 19, 20	3bitr4i 201	1 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   {csn 3375   <.cop 3378   U_ciun 3657   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-iun 3659  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352

This theorem is referenced by:  ralxp  4479  fmpt2x  5826