ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  raliunxp Structured version   GIF version

Theorem raliunxp 4420
Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp 4422, B(y) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1 (x = ⟨y, z⟩ → (φψ))
Assertion
Ref Expression
raliunxp (x y A ({y} × B)φy A z B ψ)
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,z   φ,y,z   ψ,x
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y,z)   B(y)

Proof of Theorem raliunxp
StepHypRef Expression
1 eliunxp 4418 . . . . . 6 (x y A ({y} × B) ↔ yz(x = ⟨y, z (y A z B)))
21imbi1i 227 . . . . 5 ((x y A ({y} × B) → φ) ↔ (yz(x = ⟨y, z (y A z B)) → φ))
3 19.23vv 1761 . . . . 5 (yz((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ) ↔ (yz(x = ⟨y, z (y A z B)) → φ))
42, 3bitr4i 176 . . . 4 ((x y A ({y} × B) → φ) ↔ yz((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ))
54albii 1356 . . 3 (x(x y A ({y} × B) → φ) ↔ xyz((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ))
6 alrot3 1371 . . . 4 (xyz((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ) ↔ yzx((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ))
7 impexp 250 . . . . . . 7 (((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ) ↔ (x = ⟨y, z⟩ → ((y A z B) → φ)))
87albii 1356 . . . . . 6 (x((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ) ↔ x(x = ⟨y, z⟩ → ((y A z B) → φ)))
9 vex 2554 . . . . . . . 8 y V
10 vex 2554 . . . . . . . 8 z V
119, 10opex 3957 . . . . . . 7 y, z V
12 ralxp.1 . . . . . . . 8 (x = ⟨y, z⟩ → (φψ))
1312imbi2d 219 . . . . . . 7 (x = ⟨y, z⟩ → (((y A z B) → φ) ↔ ((y A z B) → ψ)))
1411, 13ceqsalv 2578 . . . . . 6 (x(x = ⟨y, z⟩ → ((y A z B) → φ)) ↔ ((y A z B) → ψ))
158, 14bitri 173 . . . . 5 (x((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ) ↔ ((y A z B) → ψ))
16152albii 1357 . . . 4 (yzx((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ) ↔ yz((y A z B) → ψ))
176, 16bitri 173 . . 3 (xyz((x = ⟨y, z (y A z B)) → φ) ↔ yz((y A z B) → ψ))
185, 17bitri 173 . 2 (x(x y A ({y} × B) → φ) ↔ yz((y A z B) → ψ))
19 df-ral 2305 . 2 (x y A ({y} × B)φx(x y A ({y} × B) → φ))
20 r2al 2337 . 2 (y A z B ψyz((y A z B) → ψ))
2118, 19, 203bitr4i 201 1 (x y A ({y} × B)φy A z B ψ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  {csn 3367  cop 3370   ciun 3648   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iun 3650  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295
This theorem is referenced by:  ralxp  4422  fmpt2x  5768
  Copyright terms: Public domain W3C validator