Theorem php5fin 6339

Description: A finite set is not equinumerous to a set which adds one element. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
php5fin	|- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Proof of Theorem php5fin

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6241	. . . 4 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 113	. . 3 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantr 261	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		php5 6321	. . . 4 |- ( n e. om -> -. n ~~ suc n )
5	4	ad2antrl 459	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. n ~~ suc n )
6		enen1 6311	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
7	6	ad2antll 460	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ ( A u. { B } ) ) )
8		fiunsnnn 6338	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc n )
9		enen2 6312	. . . . 5 |- ( ( A u. { B } ) ~~ suc n -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
10	8, 9	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( n ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
11	7, 10	bitrd 177	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> ( A ~~ ( A u. { B } ) <-> n ~~ suc n ) )
12	5, 11	mtbird 598	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )
13	3, 12	rexlimddv 2437	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) -> -. A ~~ ( A u. { B } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1393   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   \ cdif 2914   u. cun 2915   {csn 3375   class class class wbr 3764   suc csuc 4102   omcom 4313   ~~ cen 6219   Fincfn 6221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-er 6106  df-en 6222  df-fin 6224

This theorem is referenced by: (None)