Theorem fiunsnnn 6338

Description: Adding one element to a finite set which is equinumerous to a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fiunsnnn	|- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc N )

Proof of Theorem fiunsnnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 484	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> A ~~ N )
2		en2sn 6290	. . . 4 |- ( ( B e. ( _V \ A ) /\ N e. om ) -> { B } ~~ { N } )
3	2	ad2ant2lr 479	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> { B } ~~ { N } )
4		simplr 482	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> B e. ( _V \ A ) )
5	4	eldifbd 2930	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> -. B e. A )
6		disjsn 3432	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
7	5, 6	sylibr 137	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A i^i { B } ) = (/) )
8		elirr 4266	. . . . 5 |- -. N e. N
9		disjsn 3432	. . . . 5 |- ( ( N i^i { N } ) = (/) <-> -. N e. N )
10	8, 9	mpbir 134	. . . 4 |- ( N i^i { N } ) = (/)
11	10	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( N i^i { N } ) = (/) )
12		unen 6293	. . 3 |- ( ( ( A ~~ N /\ { B } ~~ { N } ) /\ ( ( A i^i { B } ) = (/) /\ ( N i^i { N } ) = (/) ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( N u. { N } ) )
13	1, 3, 7, 11, 12	syl22anc 1136	. 2 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ ( N u. { N } ) )
14		df-suc 4108	. 2 |- suc N = ( N u. { N } )
15	13, 14	syl6breqr 3804	1 |- ( ( ( A e. Fin /\ B e. ( _V \ A ) ) /\ ( N e. om /\ A ~~ N ) ) -> ( A u. { B } ) ~~ suc N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   \ cdif 2914   u. cun 2915   i^i cin 2916   (/)c0 3224   {csn 3375   class class class wbr 3764   suc csuc 4102   omcom 4313   ~~ cen 6219   Fincfn 6221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-1o 6001  df-er 6106  df-en 6222

This theorem is referenced by:  php5fin  6339