ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovi3 Unicode version

Theorem ovi3 5579
Description: The value of an operation class abstraction. Special case. (Contributed by NM, 28-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovi3.1  H  H  C  H  D  H  S  H  X.  H
ovi3.2  C  D 
R  S
ovi3.3  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  H  X.  H  H  X.  H 
<. ,  >.  <. ,  >.  R }
Assertion
Ref Expression
ovi3  H  H  C  H  D  H  <. ,  >. F
<. C ,  D >.  S
Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,,,,,,   , R,,    C,,,,,,    D,,,,,,   , H,,,,,,    S,,,,,
Allowed substitution hints:    C()    D()    R(,,,)    S(,)    F(,,,,,,)

Proof of Theorem ovi3
StepHypRef Expression
1 ovi3.1 . . . 4  H  H  C  H  D  H  S  H  X.  H
2 elex 2560 . . . 4  S  H  X.  H  S 
_V
31, 2syl 14 . . 3  H  H  C  H  D  H  S 
_V
4 isset 2555 . . 3  S  _V  S
53, 4sylib 127 . 2  H  H  C  H  D  H  S
6 nfv 1418 . . 3  F/  H  H  C  H  D  H
7 nfcv 2175 . . . . 5  F/_ <. ,  >.
8 ovi3.3 . . . . . 6  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  H  X.  H  H  X.  H 
<. ,  >.  <. ,  >.  R }
9 nfoprab3 5498 . . . . . 6  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  H  X.  H  H  X.  H 
<. ,  >.  <. ,  >.  R }
108, 9nfcxfr 2172 . . . . 5  F/_ F
11 nfcv 2175 . . . . 5  F/_ <. C ,  D >.
127, 10, 11nfov 5478 . . . 4  F/_ <. ,  >. F <. C ,  D >.
1312nfeq1 2184 . . 3  F/ <. ,  >. F <. C ,  D >.  S
14 ovi3.2 . . . . . . 7  C  D 
R  S
1514eqeq2d 2048 . . . . . 6  C  D  R  S
1615copsex4g 3975 . . . . 5  H  H  C  H  D  H 
<. ,  >. 
<. ,  >. 
<. C ,  D >. 
<. ,  >.  R  S
17 opelxpi 4319 . . . . . 6  H  H  <. ,  >.  H  X.  H
18 opelxpi 4319 . . . . . 6  C  H  D  H  <. C ,  D >.  H  X.  H
19 nfcv 2175 . . . . . . 7  F/_ <. ,  >.
20 nfcv 2175 . . . . . . 7  F/_ <. ,  >.
21 nfcv 2175 . . . . . . 7  F/_ <. C ,  D >.
22 nfv 1418 . . . . . . . 8  F/
<. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  R
23 nfoprab1 5496 . . . . . . . . . . 11  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  H  X.  H  H  X.  H 
<. ,  >.  <. ,  >.  R }
248, 23nfcxfr 2172 . . . . . . . . . 10  F/_ F
25 nfcv 2175 . . . . . . . . . 10  F/_
2619, 24, 25nfov 5478 . . . . . . . . 9  F/_ <. ,  >. F
2726nfeq1 2184 . . . . . . . 8  F/ <. ,  >. F
2822, 27nfim 1461 . . . . . . 7  F/ <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.  R  <. ,  >. F
29 nfv 1418 . . . . . . . 8  F/
<. ,  >. 
<. ,  >. 
<. C ,  D >. 
<. ,  >.  R
30 nfoprab2 5497 . . . . . . . . . . 11  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  H  X.  H  H  X.  H 
<. ,  >.  <. ,  >.  R }
318, 30nfcxfr 2172 . . . . . . . . . 10  F/_ F
3220, 31, 21nfov 5478 . . . . . . . . 9  F/_ <. ,  >. F <. C ,  D >.
3332nfeq1 2184 . . . . . . . 8  F/ <. ,  >. F <. C ,  D >.
3429, 33nfim 1461 . . . . . . 7  F/ <. ,  >.  <. , 
>.  <. C ,  D >.  <. , 
>.  R  <. ,  >. F
<. C ,  D >.
35 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.
3635anbi1d 438 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.
3736anbi1d 438 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. ,  >.  <. , 
>.  R 
<. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  R
38374exbidv 1747 . . . . . . . 8  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  R  <. ,  >.  <. ,  >.  <. , 
>.  R
39 oveq1 5462 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  F 
<. ,  >. F
4039eqeq1d 2045 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F  <. ,  >. F
4138, 40imbi12d 223 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.  R  F  <. ,  >.  <. ,  >.  <. , 
>.  R  <. ,  >. F
42 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . 11  <. C ,  D >. 
<. ,  >.  <. C ,  D >. 
<. ,  >.
4342anbi2d 437 . . . . . . . . . 10  <. C ,  D >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. , 
>.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.
4443anbi1d 438 . . . . . . . . 9  <. C ,  D >. 
<. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  R 
<. ,  >. 
<. ,  >. 
<. C ,  D >. 
<. ,  >.  R
45444exbidv 1747 . . . . . . . 8  <. C ,  D >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. , 
>.  R  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.  R
46 oveq2 5463 . . . . . . . . 9  <. C ,  D >.  <. ,  >. F  <. ,  >. F <. C ,  D >.
4746eqeq1d 2045 . . . . . . . 8  <. C ,  D >.  <. ,  >. F  <. ,  >. F <. C ,  D >.
4845, 47imbi12d 223 . . . . . . 7  <. C ,  D >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. , 
>.  R  <. ,  >. F  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.  R  <. ,  >. F
<. C ,  D >.
49 moeq 2710 . . . . . . . . . . . 12  R
5049mosubop 4349 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  R
5150mosubop 4349 . . . . . . . . . 10  <. ,  >. 
<. ,  >.  R
52 anass 381 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. , 
>.  R  <. , 
>. 
<. ,  >.  R
53522exbii 1494 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  <. , 
>.  R 
<. ,  >.  <. ,  >.  R
54 19.42vv 1785 . . . . . . . . . . . . 13  <. , 
>. 
<. ,  >.  R 
<. ,  >.  <. ,  >.  R
5553, 54bitri 173 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. , 
>.  R  <. , 
>.  <. ,  >.  R
56552exbii 1494 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  <. ,  >.  R  <. ,  >.  <. , 
>.  R
5756mobii 1934 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  <. , 
>.  R  <. ,  >. 
<. ,  >.  R
5851, 57mpbir 134 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  <. , 
>.  R
5958a1i 9 . . . . . . . 8  H  X.  H  H  X.  H  <. ,  >.  <. , 
>.  R
6059, 8ovidi 5561 . . . . . . 7  H  X.  H  H  X.  H  <. ,  >.  <. , 
>.  R  F
6119, 20, 21, 28, 34, 41, 48, 60vtocl2gaf 2614 . . . . . 6 
<. ,  >.  H  X.  H  <. C ,  D >.  H  X.  H  <. ,  >.  <. , 
>.  <. C ,  D >.  <. , 
>.  R  <. ,  >. F
<. C ,  D >.
6217, 18, 61syl2an 273 . . . . 5  H  H  C  H  D  H 
<. ,  >. 
<. ,  >. 
<. C ,  D >. 
<. ,  >.  R  <. ,  >. F <. C ,  D >.
6316, 62sylbird 159 . . . 4  H  H  C  H  D  H  S  <. ,  >. F <. C ,  D >.
64 eqeq2 2046 . . . 4  S  <. ,  >. F <. C ,  D >.  <. ,  >. F <. C ,  D >.  S
6563, 64mpbidi 140 . . 3  H  H  C  H  D  H  S  <. ,  >. F <. C ,  D >.  S
666, 13, 65exlimd 1485 . 2  H  H  C  H  D  H  S  <. ,  >. F <. C ,  D >.  S
675, 66mpd 13 1  H  H  C  H  D  H  <. ,  >. F
<. C ,  D >.  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wmo 1898   _Vcvv 2551   <.cop 3370    X. cxp 4286  (class class class)co 5455   {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459
This theorem is referenced by:  oviec  6148  addcnsr  6731  mulcnsr  6732
  Copyright terms: Public domain W3C validator