ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltxrlt Unicode version

Theorem ltxrlt 6882
Description: The standard less-than  <RR and the extended real less-than  < are identical when restricted to the non-extended reals  RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltxrlt  RR  RR  <  <RR

Proof of Theorem ltxrlt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ltxr 6862 . . . . 5  <  { <. , 
>.  |  RR  RR  <RR  }  u.  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR
21breqi 3761 . . . 4  <  { <. , 
>.  |  RR  RR  <RR  }  u.  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR
3 brun 3801 . . . 4  { <. ,  >.  |  RR  RR  <RR  }  u.  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR  { <. , 
>.  |  RR  RR  <RR  }  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR
42, 3bitri 173 . . 3  <  { <. , 
>.  |  RR  RR  <RR  }  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR
5 eleq1 2097 . . . . . . 7  RR  RR
6 breq1 3758 . . . . . . 7  <RR  <RR
75, 63anbi13d 1208 . . . . . 6  RR  RR  <RR  RR  RR  <RR
8 eleq1 2097 . . . . . . 7  RR  RR
9 breq2 3759 . . . . . . 7  <RR  <RR
108, 93anbi23d 1209 . . . . . 6  RR  RR  <RR  RR  RR  <RR
11 eqid 2037 . . . . . 6  { <. ,  >.  |  RR  RR  <RR  }  { <. ,  >.  |  RR  RR  <RR  }
127, 10, 11brabg 3997 . . . . 5  RR  RR  { <. ,  >.  |  RR  RR  <RR  }  RR  RR  <RR
13 simp3 905 . . . . 5  RR  RR  <RR  <RR
1412, 13syl6bi 152 . . . 4  RR  RR  { <. ,  >.  |  RR  RR  <RR  } 
<RR
15 brun 3801 . . . . 5  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  { -oo }  X.  RR
16 brxp 4318 . . . . . . . . . . 11  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  RR  u.  { -oo }  { +oo }
1716simprbi 260 . . . . . . . . . 10  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  { +oo }
18 elsni 3391 . . . . . . . . . 10  { +oo } +oo
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo } +oo
2019a1i 9 . . . . . . . 8  RR  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo } +oo
21 renepnf 6870 . . . . . . . . 9  RR  =/= +oo
2221neneqd 2221 . . . . . . . 8  RR +oo
23 pm2.24 551 . . . . . . . 8 +oo +oo 
<RR
2420, 22, 23syl6ci 1331 . . . . . . 7  RR  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  <RR
2524adantl 262 . . . . . 6  RR  RR  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  <RR
26 brxp 4318 . . . . . . . . . . 11  { -oo }  X.  RR  { -oo }  RR
2726simplbi 259 . . . . . . . . . 10  { -oo }  X.  RR  { -oo }
28 elsni 3391 . . . . . . . . . 10  { -oo } -oo
2927, 28syl 14 . . . . . . . . 9  { -oo }  X.  RR -oo
3029a1i 9 . . . . . . . 8  RR  { -oo }  X.  RR -oo
31 renemnf 6871 . . . . . . . . 9  RR  =/= -oo
3231neneqd 2221 . . . . . . . 8  RR -oo
33 pm2.24 551 . . . . . . . 8 -oo -oo 
<RR
3430, 32, 33syl6ci 1331 . . . . . . 7  RR  { -oo }  X.  RR 
<RR
3534adantr 261 . . . . . 6  RR  RR  { -oo }  X.  RR  <RR
3625, 35jaod 636 . . . . 5  RR  RR  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  { -oo }  X.  RR  <RR
3715, 36syl5bi 141 . . . 4  RR  RR  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR  <RR
3814, 37jaod 636 . . 3  RR  RR  { <. ,  >.  |  RR  RR  <RR  }  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR  <RR
394, 38syl5bi 141 . 2  RR  RR  <  <RR
40123adant3 923 . . . . . 6  RR  RR  <RR  { <. , 
>.  |  RR  RR  <RR  }  RR  RR  <RR
4140ibir 166 . . . . 5  RR  RR  <RR  { <. ,  >.  |  RR  RR  <RR  }
4241orcd 651 . . . 4  RR  RR  <RR  { <. , 
>.  |  RR  RR  <RR  }  RR  u.  { -oo }  X.  { +oo }  u.  { -oo }  X.  RR
4342, 4sylibr 137 . . 3  RR  RR  <RR  <
44433expia 1105 . 2  RR  RR  <RR  <
4539, 44impbid 120 1  RR  RR  <  <RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909   {csn 3367   class class class wbr 3755   {copab 3808    X. cxp 4286   RRcr 6710    <RR cltrr 6715   +oocpnf 6854   -oocmnf 6855    < clt 6857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862
This theorem is referenced by:  axltirr  6883  axltwlin  6884  axlttrn  6885  axltadd  6886  axapti  6887  axmulgt0  6888  0lt1  6938  recexre  7362  recexgt0  7364  remulext1  7383  arch  7954
  Copyright terms: Public domain W3C validator