Theorem caucvgre 9580

Description: Convergence of real sequences.

A Cauchy sequence (as defined here, which has a rate of convergence built in) of real numbers converges to a real number. Specifically on rate of convergence, all terms after the nth term must be within 1 / n of the nth term.

(Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgre.f	|- ( ph -> F : NN --> RR )
caucvgre.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgre	|- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Distinct variable groups:   i, F, j, x, y   k, F, i, x, y   n, F, k   ph, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( i, j)

Proof of Theorem caucvgre

Dummy variables m r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfnn2 7916	. . . 4 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2		caucvgre.f	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> RR )
3		caucvgre.cau	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` n ) < ( ( F ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( F ` k ) < ( ( F ` n ) + ( 1 / n ) ) ) )
4	2, 3	caucvgrelemcau 9579	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. NN ( n <RR k -> ( ( F ` n ) <RR ( ( F ` k ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) /\ ( F ` k ) <RR ( ( F ` n ) + ( iota_ r e. RR ( n x. r ) = 1 ) ) ) ) )
5	1, 2, 4	ax-caucvg 7004	. . 3 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
6		ralrp 8604	. . . . 5 |- ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
7		0re 7027	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
8		ltxrlt 7085	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ x e. RR ) -> ( 0 < x <-> 0 <RR x ) )
9	7, 8	mpan 400	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( 0 < x <-> 0 <RR x ) )
10	9	imbi1d 220	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) ) )
11	10	ralbiia 2338	. . . . 5 |- ( A. x e. RR ( 0 < x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
12	6, 11	bitri 173	. . . 4 |- ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
13	12	rexbii 2331	. . 3 |- ( E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> E. y e. RR A. x e. RR ( 0 <RR x -> E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
14	5, 13	sylibr 137	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
15		simpr 103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
16	15	peano2nnd 7929	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
17		uznnssnn 8520	. . . . . . . . 9 |- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) C_ NN )
18		ssralv 3004	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) C_ NN -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
19	16, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
20		eluznn 8538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN )
21	16, 20	sylan 267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN )
22		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> m e. NN )
23	22	peano2nnd 7929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
24	23	nnzd 8359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
25		eluz1 8477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m + 1 ) e. ZZ -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) <-> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
27	26	biimpd 132	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
28	27	impancom 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( k e. NN -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) ) )
29	21, 28	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( k e. ZZ /\ ( m + 1 ) <_ k ) )
30	29	simprd 107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( m + 1 ) <_ k )
31		nnre 7921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. RR )
32	31	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> m e. RR )
33		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
34	33	nnred 7927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> k e. RR )
35		1re 7026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
36		ltadd1 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
37	35, 36	mp3an3 1221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
38	32, 34, 37	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
39		nnleltp1 8303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ k e. NN ) -> ( ( m + 1 ) <_ k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
40	23, 33, 39	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m + 1 ) <_ k <-> ( m + 1 ) < ( k + 1 ) ) )
41	38, 40	bitr4d 180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) <_ k ) )
42	21, 41	syldan 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( m < k <-> ( m + 1 ) <_ k ) )
43	30, 42	mpbird 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> m < k )
44		nnre 7921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. RR )
45		ltxrlt 7085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ k e. RR ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
46	31, 44, 45	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. NN /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
47	46	adantll 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( m < k <-> m <RR k ) )
48	2	ad4antr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> F : NN --> RR )
49	48, 33	ffvelrnd 5303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
50		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> y e. RR )
51	50	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> y e. RR )
52		rpre 8589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
53	52	ad3antlr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> x e. RR )
54	51, 53	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( y + x ) e. RR )
55		ltxrlt 7085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( y + x ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( y + x ) ) )
56	49, 54, 55	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` k ) <RR ( y + x ) ) )
57	49, 53	readdcld 7055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) + x ) e. RR )
58		ltxrlt 7085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ ( ( F ` k ) + x ) e. RR ) -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
59	51, 57, 58	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) )
60	56, 59	anbi12d 442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
61	47, 60	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) <-> ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
62	61	biimprd 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
63	21, 62	syldan 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( m < k -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) ) )
64	43, 63	mpid 37	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
65	64	ralimdva 2387	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
66	19, 65	syld 40	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) ) )
67		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( F ` k ) = ( F ` i ) )
68	67	breq1d 3774	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) < ( y + x ) <-> ( F ` i ) < ( y + x ) ) )
69	67	oveq1d 5527	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( ( F ` k ) + x ) = ( ( F ` i ) + x ) )
70	69	breq2d 3776	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( y < ( ( F ` k ) + x ) <-> y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
71	68, 70	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
72	71	cbvralv 2533	. . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` k ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` k ) + x ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
73	66, 72	syl6ib 150	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
74	73	reximdva 2421	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. m e. NN A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
75		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) )
76	75	raleqdv 2511	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( m + 1 ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) <-> A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
77	76	rspcev 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN /\ A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
78	16, 77	sylan 267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) /\ A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )
79	78	ex 108	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ m e. NN ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
80	79	rexlimdva 2433	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. i e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
81	74, 80	syld 40	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
82	81	ralimdva 2387	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
83	82	reximdva 2421	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. RR+ E. m e. NN A. k e. NN ( m <RR k -> ( ( F ` k ) <RR ( y + x ) /\ y <RR ( ( F ` k ) + x ) ) ) -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) ) )
84	14, 83	mpd 13	1 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( y + x ) /\ y < ( ( F ` i ) + x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   C_ wss 2917   class class class wbr 3764   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   <RR cltrr 6893   < clt 7060   <_ cle 7061   / cdiv 7651   NNcn 7914   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   RR+crp 8583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584

This theorem is referenced by:  cvg1nlemres  9584