Theorem brun 3810

Description: The union of two binary relations. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
brun	|- ( A ( R u. S ) B <-> ( A R B \/ A S B ) )

Proof of Theorem brun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3084	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( R u. S ) <-> ( <. A , B >. e. R \/ <. A , B >. e. S ) )
2		df-br 3765	. 2 |- ( A ( R u. S ) B <-> <. A , B >. e. ( R u. S ) )
3		df-br 3765	. . 3 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
4		df-br 3765	. . 3 |- ( A S B <-> <. A , B >. e. S )
5	3, 4	orbi12i 681	. 2 |- ( ( A R B \/ A S B ) <-> ( <. A , B >. e. R \/ <. A , B >. e. S ) )
6	1, 2, 5	3bitr4i 201	1 |- ( A ( R u. S ) B <-> ( A R B \/ A S B ) )

Syntax hints:   <-> wb 98   \/ wo 629   e. wcel 1393   u. cun 2915   <.cop 3378   class class class wbr 3764

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-br 3765

This theorem is referenced by:  dmun  4542  qfto  4714  poleloe  4724  cnvun  4729  coundi  4822  coundir  4823  brdifun  6133  ltxrlt  7085  ltxr  8695