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Theorem imainrect 4709
Description: Image of a relation restricted to a rectangular region. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
imainrect  G  i^i  X. 
" Y  G " Y  i^i  i^i

Proof of Theorem imainrect
StepHypRef Expression
1 df-res 4300 . . 3  G  i^i  X.  |`  Y  G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V
21rneqi 4505 . 2  ran  G  i^i  X.  |`  Y  ran  G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V
3 df-ima 4301 . 2  G  i^i  X. 
" Y 
ran  G  i^i  X.  |`  Y
4 df-ima 4301 . . . . 5  G
" Y  i^i  ran  G  |`  Y  i^i
5 df-res 4300 . . . . . 6  G  |`  Y  i^i  G  i^i  Y  i^i  X.  _V
65rneqi 4505 . . . . 5  ran  G  |`  Y  i^i  ran  G  i^i  Y  i^i  X.  _V
74, 6eqtri 2057 . . . 4  G
" Y  i^i  ran  G  i^i  Y  i^i  X.  _V
87ineq1i 3128 . . 3  G " Y  i^i  i^i  ran  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i
9 cnvin 4674 . . . . . 6  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  `' _V 
X.
10 inxp 4413 . . . . . . . . . 10  X.  _V  i^i  _V  X.  i^i  _V  X.  _V  i^i
11 inv1 3247 . . . . . . . . . . 11  i^i  _V
12 incom 3123 . . . . . . . . . . . 12  _V 
i^i  i^i  _V
13 inv1 3247 . . . . . . . . . . . 12  i^i  _V
1412, 13eqtri 2057 . . . . . . . . . . 11  _V 
i^i
1511, 14xpeq12i 4310 . . . . . . . . . 10  i^i  _V  X.  _V  i^i  X.
1610, 15eqtr2i 2058 . . . . . . . . 9  X.  X.  _V  i^i  _V  X.
1716ineq2i 3129 . . . . . . . 8  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.
18 in32 3143 . . . . . . . 8  G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.
19 xpindir 4415 . . . . . . . . . . . 12  Y  i^i  X.  _V  Y  X.  _V  i^i  X.  _V
2019ineq2i 3129 . . . . . . . . . . 11  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V
21 inass 3141 . . . . . . . . . . 11  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V
2220, 21eqtr4i 2060 . . . . . . . . . 10  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V
2322ineq1i 3128 . . . . . . . . 9  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.
24 inass 3141 . . . . . . . . 9  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.
2523, 24eqtri 2057 . . . . . . . 8  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.  G  i^i  Y  X.  _V  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.
2617, 18, 253eqtr4i 2067 . . . . . . 7  G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.
2726cnveqi 4453 . . . . . 6  `' G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  _V  X.
28 df-res 4300 . . . . . . 7  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  |`  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  X.  _V
29 cnvxp 4685 . . . . . . . 8  `' _V  X.  X.  _V
3029ineq2i 3129 . . . . . . 7  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  `' _V 
X.  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  X.  _V
3128, 30eqtr4i 2060 . . . . . 6  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  |`  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  `' _V 
X.
329, 27, 313eqtr4ri 2068 . . . . 5  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  |`  `' G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V
3332dmeqi 4479 . . . 4  dom  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  |`  dom  `' G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V
34 incom 3123 . . . . 5  i^i  dom  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  dom  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i
35 dmres 4575 . . . . 5  dom  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  |`  i^i  dom  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V
36 df-rn 4299 . . . . . 6  ran  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  dom  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V
3736ineq1i 3128 . . . . 5  ran  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i  dom  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i
3834, 35, 373eqtr4ri 2068 . . . 4  ran  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i 
dom  `' G  i^i  Y  i^i  X.  _V  |`
39 df-rn 4299 . . . 4  ran  G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V  dom  `' G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V
4033, 38, 393eqtr4ri 2068 . . 3  ran  G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V  ran  G  i^i  Y  i^i  X.  _V  i^i
418, 40eqtr4i 2060 . 2  G " Y  i^i  i^i 
ran  G  i^i  X.  i^i  Y  X.  _V
422, 3, 413eqtr4i 2067 1  G  i^i  X. 
" Y  G " Y  i^i  i^i
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wceq 1242   _Vcvv 2551    i^i cin 2910    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   "cima 4291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301
This theorem is referenced by:  ecinxp  6117
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