ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funssres Unicode version

Theorem funssres 4885
Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funssres  Fun  F  G  C_  F  F  |`  dom  G  G

Proof of Theorem funssres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . . . . . 7  G 
C_  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F
2 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
3 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
42, 3opeldm 4481 . . . . . . . 8  <. ,  >.  G  dom  G
54a1i 9 . . . . . . 7  G 
C_  F  <. ,  >.  G 
dom  G
61, 5jcad 291 . . . . . 6  G 
C_  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F  dom  G
76adantl 262 . . . . 5  Fun  F  G  C_  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F  dom  G
8 funeu2 4870 . . . . . . . . . . . 12  Fun  F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F
92eldm2 4476 . . . . . . . . . . . . . 14  dom  G  <. ,  >.  G
101ancrd 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  G 
C_  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G
1110eximdv 1757 . . . . . . . . . . . . . 14  G 
C_  F  <. , 
>.  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
129, 11syl5bi 141 . . . . . . . . . . . . 13  G 
C_  F  dom  G  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G
1312imp 115 . . . . . . . . . . . 12  G  C_  F  dom  G  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G
14 eupick 1976 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F  <. , 
>.  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
158, 13, 14syl2an 273 . . . . . . . . . . 11  Fun  F  <. ,  >.  F  G  C_  F  dom  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
1615exp43 354 . . . . . . . . . 10  Fun 
F  <. ,  >.  F  G  C_  F  dom  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
1716com23 72 . . . . . . . . 9  Fun 
F  G  C_  F  <. ,  >.  F  dom  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
1817imp 115 . . . . . . . 8  Fun  F  G  C_  F  <. ,  >.  F  dom  G  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G
1918com34 77 . . . . . . 7  Fun  F  G  C_  F  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F  dom  G  <. , 
>.  G
2019pm2.43d 44 . . . . . 6  Fun  F  G  C_  F  <. ,  >.  F  dom  G  <. ,  >.  G
2120impd 242 . . . . 5  Fun  F  G  C_  F  <. , 
>.  F  dom  G  <. ,  >.  G
227, 21impbid 120 . . . 4  Fun  F  G  C_  F  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F  dom  G
233opelres 4560 . . . 4  <. ,  >.  F  |`  dom  G  <. , 
>.  F  dom  G
2422, 23syl6rbbr 188 . . 3  Fun  F  G  C_  F  <. ,  >.  F  |`  dom  G 
<. ,  >.  G
2524alrimivv 1752 . 2  Fun  F  G  C_  F  <. ,  >.  F  |`  dom  G 
<. ,  >.  G
26 relres 4582 . . 3  Rel  F  |`  dom  G
27 funrel 4862 . . . 4  Fun 
F  Rel  F
28 relss 4370 . . . 4  G 
C_  F  Rel  F  Rel  G
2927, 28mpan9 265 . . 3  Fun  F  G  C_  F  Rel  G
30 eqrel 4372 . . 3  Rel  F  |`  dom  G  Rel  G  F  |`  dom  G  G  <. ,  >.  F  |`  dom  G 
<. ,  >.  G
3126, 29, 30sylancr 393 . 2  Fun  F  G  C_  F  F  |`  dom  G  G  <. ,  >.  F  |`  dom  G 
<. ,  >.  G
3225, 31mpbird 156 1  Fun  F  G  C_  F  F  |`  dom  G  G
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  weu 1897    C_ wss 2911   <.cop 3370   dom cdm 4288    |` cres 4290   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  fun2ssres  4886  funcnvres  4915  funssfv  5142  oprssov  5584
  Copyright terms: Public domain W3C validator