ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmex Unicode version

Theorem f1dmex 5685
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex  F : -1-1->  C  _V

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1f 5035 . . . . . 6  F : -1-1->  F : -->
2 frn 4995 . . . . . 6  F : -->  ran 
F  C_
31, 2syl 14 . . . . 5  F : -1-1->  ran 
F  C_
4 ssexg 3887 . . . . 5  ran  F  C_  C  ran  F  _V
53, 4sylan 267 . . . 4  F : -1-1->  C  ran  F  _V
65ex 108 . . 3  F : -1-1->  C  ran  F  _V
7 f1cnv 5093 . . . . 5  F : -1-1->  `' F : ran  F -1-1-onto->
8 f1ofo 5076 . . . . 5  `' F : ran  F -1-1-onto->  `' F : ran  F -onto->
97, 8syl 14 . . . 4  F : -1-1->  `' F : ran  F -onto->
10 fornex 5684 . . . 4  ran 
F  _V  `' F : ran  F -onto->  _V
119, 10syl5com 26 . . 3  F : -1-1->  ran  F  _V  _V
126, 11syld 40 . 2  F : -1-1->  C  _V
1312imp 115 1  F : -1-1->  C  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   `'ccnv 4287   ran crn 4289   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  f1domg  6174
  Copyright terms: Public domain W3C validator