Theorem f1dmex 5743

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5092	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		frn 5052	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ran F C_ B )
4		ssexg 3896	. . . . 5 |- ( ( ran F C_ B /\ B e. C ) -> ran F e. _V )
5	3, 4	sylan 267	. . . 4 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> ran F e. _V )
6	5	ex 108	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( B e. C -> ran F e. _V ) )
7		f1cnv 5150	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> `' F : ran F -1-1-onto-> A )
8		f1ofo 5133	. . . . 5 |- ( `' F : ran F -1-1-onto-> A -> `' F : ran F -onto-> A )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> `' F : ran F -onto-> A )
10		fornex 5742	. . . 4 |- ( ran F e. _V -> ( `' F : ran F -onto-> A -> A e. _V ) )
11	9, 10	syl5com 26	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ran F e. _V -> A e. _V ) )
12	6, 11	syld 40	. 2 |- ( F : A -1-1-> B -> ( B e. C -> A e. _V ) )
13	12	imp 115	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ B e. C ) -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   `'ccnv 4344   ran crn 4346   -->wf 4898   -1-1->wf1 4899   -onto->wfo 4900   -1-1-onto->wf1o 4901

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  f1domg  6238