Theorem fornex 5742

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fornex	|- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Proof of Theorem fornex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5107	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> Fun F )
2		funrnex 5741	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V ) )
3	1, 2	syl5com 26	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V ) )
4		fof 5106	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
5		fdm 5050	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> dom F = A )
7	6	eleq1d 2106	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( dom F e. C <-> A e. C ) )
8		forn 5109	. . . 4 |- ( F : A -onto-> B -> ran F = B )
9	8	eleq1d 2106	. . 3 |- ( F : A -onto-> B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V ) )
10	3, 7, 9	3imtr3d 191	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( A e. C -> B e. _V ) )
11	10	com12 27	1 |- ( A e. C -> ( F : A -onto-> B -> B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   dom cdm 4345   ran crn 4346   Fun wfun 4896   -->wf 4898   -onto->wfo 4900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  f1dmex  5743  f1oeng  6237