Theorem fornex 5684

Description: If the domain of an onto function exists, so does its codomain. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fornex	|- (A e. C -> ( F :A -onto->B -> B e. _V))

Proof of Theorem fornex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofun 5050	. . . 4 |- ( F :A -onto->B -> Fun F)
2		funrnex 5683	. . . 4 |- ( dom F e. C -> ( Fun F -> ran F e. _V))
3	1, 2	syl5com 26	. . 3 |- ( F :A -onto->B -> ( dom F e. C -> ran F e. _V))
4		fof 5049	. . . . 5 |- ( F :A -onto->B -> F :A -->B)
5		fdm 4993	. . . . 5 |- ( F :A -->B -> dom F = A)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( F :A -onto->B -> dom F = A)
7	6	eleq1d 2103	. . 3 |- ( F :A -onto->B -> ( dom F e. C <-> A e. C))
8		forn 5052	. . . 4 |- ( F :A -onto->B -> ran F = B)
9	8	eleq1d 2103	. . 3 |- ( F :A -onto->B -> ( ran F e. _V <-> B e. _V))
10	3, 7, 9	3imtr3d 191	. 2 |- ( F :A -onto->B -> (A e. C -> B e. _V))
11	10	com12 27	1 |- (A e. C -> ( F :A -onto->B -> B e. _V))

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1242   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   dom cdm 4288   ran crn 4289   Fun wfun 4839   -->wf 4841   -onto->wfo 4843

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  f1dmex  5685  f1oeng  6173