ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmex Structured version   GIF version

Theorem f1dmex 5685
Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1dmex ((𝐹:A1-1B B 𝐶) → A V)

Proof of Theorem f1dmex
StepHypRef Expression
1 f1f 5035 . . . . . 6 (𝐹:A1-1B𝐹:AB)
2 frn 4995 . . . . . 6 (𝐹:AB → ran 𝐹B)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝐹:A1-1B → ran 𝐹B)
4 ssexg 3887 . . . . 5 ((ran 𝐹B B 𝐶) → ran 𝐹 V)
53, 4sylan 267 . . . 4 ((𝐹:A1-1B B 𝐶) → ran 𝐹 V)
65ex 108 . . 3 (𝐹:A1-1B → (B 𝐶 → ran 𝐹 V))
7 f1cnv 5093 . . . . 5 (𝐹:A1-1B𝐹:ran 𝐹1-1-ontoA)
8 f1ofo 5076 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-ontoA𝐹:ran 𝐹ontoA)
97, 8syl 14 . . . 4 (𝐹:A1-1B𝐹:ran 𝐹ontoA)
10 fornex 5684 . . . 4 (ran 𝐹 V → (𝐹:ran 𝐹ontoAA V))
119, 10syl5com 26 . . 3 (𝐹:A1-1B → (ran 𝐹 V → A V))
126, 11syld 40 . 2 (𝐹:A1-1B → (B 𝐶A V))
1312imp 115 1 ((𝐹:A1-1B B 𝐶) → A V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  Vcvv 2551  wss 2911  ccnv 4287  ran crn 4289  wf 4841  1-1wf1 4842  ontowfo 4843  1-1-ontowf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  f1domg  6174
  Copyright terms: Public domain W3C validator