Theorem f1dmex 5685

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This can be thought of as a form of the Axiom of Replacement. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	⊢ ((𝐹:A–1-1→B ∧ B ∈ 𝐶) → A ∈ V)

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5035	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:A–1-1→B → 𝐹:A⟶B)
2		frn 4995	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:A⟶B → ran 𝐹 ⊆ B)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:A–1-1→B → ran 𝐹 ⊆ B)
4		ssexg 3887	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ⊆ B ∧ B ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
5	3, 4	sylan 267	. . . 4 ⊢ ((𝐹:A–1-1→B ∧ B ∈ 𝐶) → ran 𝐹 ∈ V)
6	5	ex 108	. . 3 ⊢ (𝐹:A–1-1→B → (B ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ∈ V))
7		f1cnv 5093	. . . . 5 ⊢ (𝐹:A–1-1→B → ◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→A)
8		f1ofo 5076	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:ran 𝐹–1-1-onto→A → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→A)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐹:A–1-1→B → ◡𝐹:ran 𝐹–onto→A)
10		fornex 5684	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → (◡𝐹:ran 𝐹–onto→A → A ∈ V))
11	9, 10	syl5com 26	. . 3 ⊢ (𝐹:A–1-1→B → (ran 𝐹 ∈ V → A ∈ V))
12	6, 11	syld 40	. 2 ⊢ (𝐹:A–1-1→B → (B ∈ 𝐶 → A ∈ V))
13	12	imp 115	1 ⊢ ((𝐹:A–1-1→B ∧ B ∈ 𝐶) → A ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  ^◡ccnv 4287  ran crn 4289  ⟶wf 4841  –1-1→wf1 4842  –onto→wfo 4843  –1-1-onto→wf1o 4844

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  f1domg  6174