Theorem eluz1i 8480

Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
eluz.1	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
eluz1i	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz.1	. 2 |- M e. ZZ
2		eluz1 8477	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1393   class class class wbr 3764   ` cfv 4902   <_ cle 7061   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474

This theorem is referenced by:  eluzaddi  8499  eluzsubi  8500  eluz2b1  8539