Theorem dfnul3 3227

Description: Alternate definition of the empty set. (Contributed by NM, 25-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dfnul3	|- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Proof of Theorem dfnul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equid 1589	. . . . 5 |- x = x
2	1	notnoti 574	. . . 4 |- -. -. x = x
3		pm3.24 627	. . . 4 |- -. ( x e. A /\ -. x e. A )
4	2, 3	2false 617	. . 3 |- ( -. x = x <-> ( x e. A /\ -. x e. A ) )
5	4	abbii 2153	. 2 |- { x | -. x = x } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
6		dfnul2 3226	. 2 |- (/) = { x | -. x = x }
7		df-rab 2315	. 2 |- { x e. A | -. x e. A } = { x | ( x e. A /\ -. x e. A ) }
8	5, 6, 7	3eqtr4i 2070	1 |- (/) = { x e. A | -. x e. A }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   {crab 2310   (/)c0 3224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-nul 3225

This theorem is referenced by:  difidALT  3293