Theorem dfnul2 3203

Description: Alternate definition of the empty set. Definition 5.14 of [TakeutiZaring] p. 20. (Contributed by NM, 26-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfnul2	|- (/) = {x | -. x = x }

Proof of Theorem dfnul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nul 3202	. . . 4 |- (/) = ( _V \ _V)
2	1	eleq2i 2086	. . 3 |- (x e. (/) <-> x e. ( _V \ _V))
3		eldif 2904	. . 3 |- (x e. ( _V \ _V) <-> (x e. _V /\ -. x e. _V))
4		pm3.24 614	. . . 4 |- -. (x e. _V /\ -. x e. _V)
5		eqid 2022	. . . . 5 |- x = x
6	5	notnoti 561	. . . 4 |- -. -. x = x
7	4, 6	2false 604	. . 3 |- ((x e. _V /\ -. x e. _V) <-> -. x = x)
8	2, 3, 7	3bitri 195	. 2 |- (x e. (/) <-> -. x = x)
9	8	abbi2i 2134	1 |- (/) = {x | -. x = x }

Syntax hints:  -. wn 3   /\ wa 97   = wceq 1228   e. wcel 1374   {cab 2008   _Vcvv 2535   \ cdif 2891   (/)c0 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-dif 2897  df-nul 3202

This theorem is referenced by:  dfnul3  3204  rab0  3223  iotanul  4809