Theorem dffo3 5314

Description: An onto mapping expressed in terms of function values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
dffo3	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5110	. 2 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		ffn 5046	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		fnrnfv 5220	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ran F = { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } )
4	3	eqeq1d 2048	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( ran F = B <-> { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( ran F = B <-> { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B ) )
6		simpr 103	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y = ( F ` x ) )
7		ffvelrn 5300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
8	7	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> ( F ` x ) e. B )
9	6, 8	eqeltrd 2114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A --> B /\ x e. A ) /\ y = ( F ` x ) ) -> y e. B )
10	9	exp31 346	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x e. A -> ( y = ( F ` x ) -> y e. B ) ) )
11	10	rexlimdv 2432	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) )
12	11	biantrurd 289	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) <-> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) /\ ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) ) )
13		dfbi2 368	. . . . . . 7 |- ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) -> y e. B ) /\ ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
14	12, 13	syl6rbbr 188	. . . . . 6 |- ( F : A --> B -> ( ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
15	14	albidv 1705	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( A. y ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) <-> A. y ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) ) )
16		abeq1 2147	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B <-> A. y ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> y e. B ) )
17		df-ral 2311	. . . . 5 |- ( A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) <-> A. y ( y e. B -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4g 212	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( { y | E. x e. A y = ( F ` x ) } = B <-> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
19	5, 18	bitrd 177	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ran F = B <-> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
20	19	pm5.32i 427	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
21	1, 20	bitri 173	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   ran crn 4346   Fn wfn 4897   -->wf 4898   -onto->wfo 4900   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fo 4908  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  dffo4  5315  foelrn  5317  foco2  5318  fcofo  5424  foov  5647  cnref1o  8582