Theorem dff4im 5256

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff4im	|- ( F :A -->B -> ( F C_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B x Fy))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x, F,y

Proof of Theorem dff4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3im 5255	. 2 |- ( F :A -->B -> ( F C_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y x Fy))
2		df-br 3756	. . . . . . . 8 |- (x Fy <-> <.x , y >. e. F)
3		ssel 2933	. . . . . . . . 9 |- ( F C_ (A X. B) -> ( <.x , y >. e. F -> <.x , y >. e. (A X. B)))
4		opelxp2 4321	. . . . . . . . 9 |- ( <.x , y >. e. (A X. B) -> y e. B)
5	3, 4	syl6 29	. . . . . . . 8 |- ( F C_ (A X. B) -> ( <.x , y >. e. F -> y e. B))
6	2, 5	syl5bi 141	. . . . . . 7 |- ( F C_ (A X. B) -> (x Fy -> y e. B))
7	6	pm4.71rd 374	. . . . . 6 |- ( F C_ (A X. B) -> (x Fy <-> (y e. B /\ x Fy)))
8	7	eubidv 1905	. . . . 5 |- ( F C_ (A X. B) -> (E!y x Fy <-> E!y(y e. B /\ x Fy)))
9		df-reu 2307	. . . . 5 |- (E!y e. B x Fy <-> E!y(y e. B /\ x Fy))
10	8, 9	syl6bbr 187	. . . 4 |- ( F C_ (A X. B) -> (E!y x Fy <-> E!y e. B x Fy))
11	10	ralbidv 2320	. . 3 |- ( F C_ (A X. B) -> (A.x e. A E!y x Fy <-> A.x e. A E!y e. B x Fy))
12	11	pm5.32i 427	. 2 |- (( F C_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y x Fy) <-> ( F C_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B x Fy))
13	1, 12	sylib 127	1 |- ( F :A -->B -> ( F C_ (A X. B) /\ A.x e. A E!y e. B x Fy))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1390  E!weu 1897  A.wral 2300  E!wreu 2302   C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755   X. cxp 4286   -->wf 4841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)