Theorem dffo4 5315

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo4	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5110	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		simpl 102	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> F : A --> B )
3		vex 2560	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
4	3	elrn 4577	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran F <-> E. x x F y )
5		eleq2 2101	. . . . . . . . 9 |- ( ran F = B -> ( y e. ran F <-> y e. B ) )
6	4, 5	syl5bbr 183	. . . . . . . 8 |- ( ran F = B -> ( E. x x F y <-> y e. B ) )
7	6	biimpar 281	. . . . . . 7 |- ( ( ran F = B /\ y e. B ) -> E. x x F y )
8	7	adantll 445	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x x F y )
9		ffn 5046	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
10		fnbr 5001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
11	10	ex 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
12	9, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
13	12	ancrd 309	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
14	13	eximdv 1760	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
15		df-rex 2312	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
16	14, 15	syl6ibr 151	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
17	16	ad2antrr 457	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
18	8, 17	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x e. A x F y )
19	18	ralrimiva 2392	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> A. y e. B E. x e. A x F y )
20	2, 19	jca 290	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
21	1, 20	sylbi 114	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
22		fnbrfvb 5214	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
23	22	biimprd 147	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
24		eqcom 2042	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = y <-> y = ( F ` x ) )
25	23, 24	syl6ib 150	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
26	9, 25	sylan 267	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
27	26	reximdva 2421	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A x F y -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
28	27	ralimdv 2388	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
29	28	imdistani 419	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
30		dffo3 5314	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
31	29, 30	sylibr 137	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> F : A -onto-> B )
32	21, 31	impbii 117	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   class class class wbr 3764   ran crn 4346   Fn wfn 4897   -->wf 4898   -onto->wfo 4900   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fo 4908  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  dffo5  5316