Theorem foelrn 5317

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	|- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem foelrn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo3 5314	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
2	1	simprbi 260	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) )
3		eqeq1 2046	. . . 4 |- ( y = C -> ( y = ( F ` x ) <-> C = ( F ` x ) ) )
4	3	rexbidv 2327	. . 3 |- ( y = C -> ( E. x e. A y = ( F ` x ) <-> E. x e. A C = ( F ` x ) ) )
5	4	rspccva 2655	. 2 |- ( ( A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )
6	2, 5	sylan 267	1 |- ( ( F : A -onto-> B /\ C e. B ) -> E. x e. A C = ( F ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   -->wf 4898   -onto->wfo 4900   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fo 4908  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  foco2  5318