Theorem cofunexg 5680

Description: Existence of a composition when the first member is a function. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cofunexg	|- (( Fun A /\ B e. C) -> (A o. B) e. _V)

Proof of Theorem cofunexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4762	. . 3 |- Rel (A o. B)
2		relssdmrn 4784	. . 3 |- ( Rel (A o. B) -> (A o. B) C_ ( dom (A o. B) X. ran (A o. B)))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- (A o. B) C_ ( dom (A o. B) X. ran (A o. B))
4		dmcoss 4544	. . . . 5 |- dom (A o. B) C_ dom B
5		dmexg 4539	. . . . 5 |- (B e. C -> dom B e. _V)
6		ssexg 3887	. . . . 5 |- (( dom (A o. B) C_ dom B /\ dom B e. _V) -> dom (A o. B) e. _V)
7	4, 5, 6	sylancr 393	. . . 4 |- (B e. C -> dom (A o. B) e. _V)
8	7	adantl 262	. . 3 |- (( Fun A /\ B e. C) -> dom (A o. B) e. _V)
9		rnco 4770	. . . 4 |- ran (A o. B) = ran (A |` ran B)
10		rnexg 4540	. . . . . 6 |- (B e. C -> ran B e. _V)
11		resfunexg 5325	. . . . . 6 |- (( Fun A /\ ran B e. _V) -> (A |` ran B) e. _V)
12	10, 11	sylan2 270	. . . . 5 |- (( Fun A /\ B e. C) -> (A |` ran B) e. _V)
13		rnexg 4540	. . . . 5 |- ((A |` ran B) e. _V -> ran (A |` ran B) e. _V)
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- (( Fun A /\ B e. C) -> ran (A |` ran B) e. _V)
15	9, 14	syl5eqel 2121	. . 3 |- (( Fun A /\ B e. C) -> ran (A o. B) e. _V)
16		xpexg 4395	. . 3 |- (( dom (A o. B) e. _V /\ ran (A o. B) e. _V) -> ( dom (A o. B) X. ran (A o. B)) e. _V)
17	8, 15, 16	syl2anc 391	. 2 |- (( Fun A /\ B e. C) -> ( dom (A o. B) X. ran (A o. B)) e. _V)
18		ssexg 3887	. 2 |- (((A o. B) C_ ( dom (A o. B) X. ran (A o. B)) /\ ( dom (A o. B) X. ran (A o. B)) e. _V) -> (A o. B) e. _V)
19	3, 17, 18	sylancr 393	1 |- (( Fun A /\ B e. C) -> (A o. B) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   C_ wss 2911   X. cxp 4286   dom cdm 4288   ran crn 4289   |` cres 4290   o. ccom 4292   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  cofunex2g  5681