Theorem dmcoss 4601

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1385	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1508	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2560	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2560	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4507	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 3768	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1795	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 190	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1485	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4533	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4532	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 190	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 2949	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 97   E.wex 1381   e. wcel 1393   C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   dom cdm 4345   o. ccom 4349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-co 4354  df-dm 4355

This theorem is referenced by:  rncoss  4602  dmcosseq  4603  cossxp  4843  funco  4940  cofunexg  5738