ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvf1o Unicode version

Theorem cnvf1o 5788
Description: Describe a function that maps the elements of a set to its converse bijectively. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvf1o  Rel  |->  U. `' { } : -1-1-onto-> `'
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem cnvf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2037 . 2  |->  U. `' { }  |->  U. `' { }
2 snexg 3927 . . . 4  { }  _V
3 cnvexg 4798 . . . 4  { }  _V  `' { }  _V
4 uniexg 4141 . . . 4  `' { }  _V  U. `' { }  _V
52, 3, 43syl 17 . . 3  U. `' { }  _V
65adantl 262 . 2  Rel  U. `' { }  _V
7 snexg 3927 . . . 4  `'  { }  _V
8 cnvexg 4798 . . . 4  { }  _V  `' { }  _V
9 uniexg 4141 . . . 4  `' { }  _V  U. `' { }  _V
107, 8, 93syl 17 . . 3  `'  U. `' { }  _V
1110adantl 262 . 2  Rel  `'  U. `' { }  _V
12 cnvf1olem 5787 . . 3  Rel  U. `' { }  `'  U. `' { }
13 relcnv 4646 . . . . 5  Rel  `'
14 simpr 103 . . . . 5  Rel  `'  U. `' { }  `'  U. `' { }
15 cnvf1olem 5787 . . . . 5  Rel  `'  `'  U. `' { }  `' `'  U. `' { }
1613, 14, 15sylancr 393 . . . 4  Rel  `'  U. `' { }  `' `'  U. `' { }
17 dfrel2 4714 . . . . . . 7  Rel  `' `'
18 eleq2 2098 . . . . . . 7  `' `'  `' `'
1917, 18sylbi 114 . . . . . 6  Rel  `' `'
2019anbi1d 438 . . . . 5  Rel  `' `'  U. `' { }  U. `' { }
2120adantr 261 . . . 4  Rel  `'  U. `' { }  `' `'  U. `' { }  U. `' { }
2216, 21mpbid 135 . . 3  Rel  `'  U. `' { }  U. `' { }
2312, 22impbida 528 . 2  Rel  U. `' { }  `'  U. `' { }
241, 6, 11, 23f1od 5645 1  Rel  |->  U. `' { } : -1-1-onto-> `'
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   U.cuni 3571    |-> cmpt 3809   `'ccnv 4287   Rel wrel 4293   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-1st 5709  df-2nd 5710
This theorem is referenced by:  tposf12  5825  cnven  6224  xpcomf1o  6235
  Copyright terms: Public domain W3C validator