Theorem cnven 6288

Description: A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnven	|- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A ~~ `' A )

Proof of Theorem cnven

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 103	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A e. V )
2		cnvexg 4855	. . 3 |- ( A e. V -> `' A e. _V )
3	2	adantl 262	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> `' A e. _V )
4		cnvf1o 5846	. . 3 |- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
5	4	adantr 261	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
6		f1oen2g 6235	. 2 |- ( ( A e. V /\ `' A e. _V /\ ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A ) -> A ~~ `' A )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1135	1 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A ~~ `' A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   U.cuni 3580   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   `'ccnv 4344   Rel wrel 4350   -1-1-onto->wf1o 4901   ~~ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-en 6222

This theorem is referenced by: (None)