ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cbvopab1 Structured version   Unicode version

Theorem cbvopab1 3821
Description: Change first bound variable in an ordered-pair class abstraction, using explicit substitution. (Contributed by NM, 6-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvopab1.1  F/
cbvopab1.2  F/
cbvopab1.3
Assertion
Ref Expression
cbvopab1  { <. ,  >.  |  }  { <. ,  >.  |  }
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem cbvopab1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1418 . . . . 5  F/ 
<. ,  >.
2 nfv 1418 . . . . . . 7  F/  <. ,  >.
3 nfs1v 1812 . . . . . . 7  F/
42, 3nfan 1454 . . . . . 6  F/  <. ,  >.
54nfex 1525 . . . . 5  F/ 
<. ,  >.
6 opeq1 3540 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. ,  >.
76eqeq2d 2048 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.
8 sbequ12 1651 . . . . . . 7
97, 8anbi12d 442 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.
109exbidv 1703 . . . . 5 
<. ,  >.  <. ,  >.
111, 5, 10cbvex 1636 . . . 4  <. , 
>. 
<. ,  >.
12 nfv 1418 . . . . . . 7  F/  <. ,  >.
13 cbvopab1.1 . . . . . . . 8  F/
1413nfsb 1819 . . . . . . 7  F/
1512, 14nfan 1454 . . . . . 6  F/  <. ,  >.
1615nfex 1525 . . . . 5  F/ 
<. ,  >.
17 nfv 1418 . . . . 5  F/ 
<. ,  >.
18 opeq1 3540 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. ,  >.
1918eqeq2d 2048 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.
20 sbequ 1718 . . . . . . . 8
21 cbvopab1.2 . . . . . . . . 9  F/
22 cbvopab1.3 . . . . . . . . 9
2321, 22sbie 1671 . . . . . . . 8
2420, 23syl6bb 185 . . . . . . 7
2519, 24anbi12d 442 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.
2625exbidv 1703 . . . . 5 
<. ,  >.  <. ,  >.
2716, 17, 26cbvex 1636 . . . 4  <. , 
>. 
<. ,  >.
2811, 27bitri 173 . . 3  <. , 
>. 
<. ,  >.
2928abbii 2150 . 2  {  |  <. ,  >.  }  {  | 
<. ,  >.  }
30 df-opab 3810 . 2  { <. ,  >.  |  }  {  |  <. ,  >.  }
31 df-opab 3810 . 2  { <. ,  >.  |  }  {  |  <. ,  >.  }
3229, 30, 313eqtr4i 2067 1  { <. ,  >.  |  }  { <. ,  >.  |  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   F/wnf 1346  wex 1378  wsb 1642   {cab 2023   <.cop 3370   {copab 3808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810
This theorem is referenced by:  cbvopab1v  3824  cbvmpt  3842
  Copyright terms: Public domain W3C validator