ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brabvv Structured version   Unicode version

Theorem brabvv 5493
Description: If two classes are in a relationship given by an ordered-pair class abstraction, the classes are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brabvv  X { <. , 
>.  |  } Y  X  _V  Y  _V
Distinct variable groups:   ,, X   , Y,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem brabvv
StepHypRef Expression
1 df-br 3756 . . . . . 6  X { <. , 
>.  |  } Y  <. X ,  Y >. 
{ <. , 
>.  |  }
2 elopab 3986 . . . . . 6  <. X ,  Y >.  { <. ,  >.  |  }  <. X ,  Y >.  <. , 
>.
31, 2bitri 173 . . . . 5  X { <. , 
>.  |  } Y 
<. X ,  Y >. 
<. ,  >.
4 exsimpl 1505 . . . . . 6  <. X ,  Y >.  <. , 
>.  <. X ,  Y >.  <. , 
>.
54eximi 1488 . . . . 5  <. X ,  Y >.  <. ,  >.  <. X ,  Y >.  <. , 
>.
63, 5sylbi 114 . . . 4  X { <. , 
>.  |  } Y  <. X ,  Y >. 
<. ,  >.
7 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
8 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
97, 8opth 3965 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. X ,  Y >.  X  Y
109biimpi 113 . . . . . 6  <. ,  >.  <. X ,  Y >.  X  Y
1110eqcoms 2040 . . . . 5  <. X ,  Y >.  <. ,  >.  X  Y
12112eximi 1489 . . . 4  <. X ,  Y >.  <. ,  >.  X  Y
136, 12syl 14 . . 3  X { <. , 
>.  |  } Y  X  Y
14 eeanv 1804 . . 3  X  Y  X  Y
1513, 14sylib 127 . 2  X { <. , 
>.  |  } Y  X  Y
16 isset 2555 . . 3  X  _V  X
17 isset 2555 . . 3  Y  _V  Y
1816, 17anbi12i 433 . 2  X  _V  Y  _V  X  Y
1915, 18sylibr 137 1  X { <. , 
>.  |  } Y  X  _V  Y  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   {copab 3808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator