Theorem bdcriota 10003

Description: A class given by a restricted definition binder is bounded, under the given hypotheses. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bdcriota.bd	|- BOUNDED ph
bdcriota.ex	|- E! x e. y ph

Assertion

Ref	Expression
bdcriota	|- BOUNDED ( iota_ x e. y ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem bdcriota

Dummy variables z t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcriota.bd	. . . . . . . . 9 |- BOUNDED ph
2	1	ax-bdsb 9942	. . . . . . . 8 |- BOUNDED [ z / x ] ph
3		ax-bdel 9941	. . . . . . . 8 |- BOUNDED t e. z
4	2, 3	ax-bdim 9934	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( [ z / x ] ph -> t e. z )
5	4	ax-bdal 9938	. . . . . 6 |- BOUNDED A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z )
6		df-ral 2311	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) )
7		impexp 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) )
8	7	bicomi 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) <-> ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
9	8	albii 1359	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) <-> A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
10	6, 9	bitri 173	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
11		sban 1829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> ( [ z / x ] x e. y /\ [ z / x ] ph ) )
12		clelsb3 2142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / x ] x e. y <-> z e. y )
13	12	anbi1i 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ z / x ] x e. y /\ [ z / x ] ph ) <-> ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) )
14	11, 13	bitri 173	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) )
15	14	bicomi 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) <-> [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) )
16	15	imbi1i 227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
17	16	albii 1359	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
18	10, 17	bitri 173	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
19		df-clab 2027	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } <-> [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) )
20	19	bicomi 123	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } )
21	20	imbi1i 227	. . . . . . . 8 |- ( ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) <-> ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
22	21	albii 1359	. . . . . . 7 |- ( A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) <-> A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
23	18, 22	bitri 173	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
24	5, 23	bd0 9944	. . . . 5 |- BOUNDED A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z )
25	24	bdcab 9969	. . . 4 |- BOUNDED { t | A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) }
26		df-int 3616	. . . 4 |- |^| { x | ( x e. y /\ ph ) } = { t | A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) }
27	25, 26	bdceqir 9964	. . 3 |- BOUNDED |^| { x | ( x e. y /\ ph ) }
28		bdcriota.ex	. . . . 5 |- E! x e. y ph
29		df-reu 2313	. . . . 5 |- ( E! x e. y ph <-> E! x ( x e. y /\ ph ) )
30	28, 29	mpbi 133	. . . 4 |- E! x ( x e. y /\ ph )
31		iotaint 4880	. . . 4 |- ( E! x ( x e. y /\ ph ) -> ( iota x ( x e. y /\ ph ) ) = |^| { x | ( x e. y /\ ph ) } )
32	30, 31	ax-mp 7	. . 3 |- ( iota x ( x e. y /\ ph ) ) = |^| { x | ( x e. y /\ ph ) }
33	27, 32	bdceqir 9964	. 2 |- BOUNDED ( iota x ( x e. y /\ ph ) )
34		df-riota 5468	. 2 |- ( iota_ x e. y ph ) = ( iota x ( x e. y /\ ph ) )
35	33, 34	bdceqir 9964	1 |- BOUNDED ( iota_ x e. y ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   [wsb 1645   E!weu 1900   {cab 2026   A.wral 2306   E!wreu 2308   |^|cint 3615   iotacio 4865   iota_crio 5467  BOUNDED wbd 9932  BOUNDED wbdc 9960

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-bd0 9933  ax-bdim 9934  ax-bdal 9938  ax-bdel 9941  ax-bdsb 9942

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-iota 4867  df-riota 5468  df-bdc 9961

This theorem is referenced by: (None)