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Theorem bdcriota 9272
Description: A class given by a restricted definition binder is bounded, under the given hypotheses. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bdcriota.bd BOUNDED φ
bdcriota.ex ∃!x y φ
Assertion
Ref Expression
bdcriota BOUNDED (x y φ)
Distinct variable group:   x,y
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem bdcriota
Dummy variables z 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdcriota.bd . . . . . . . . 9 BOUNDED φ
21ax-bdsb 9211 . . . . . . . 8 BOUNDED [z / x]φ
3 ax-bdel 9210 . . . . . . . 8 BOUNDED 𝑡 z
42, 3ax-bdim 9203 . . . . . . 7 BOUNDED ([z / x]φ𝑡 z)
54ax-bdal 9207 . . . . . 6 BOUNDED z y ([z / x]φ𝑡 z)
6 df-ral 2305 . . . . . . . . 9 (z y ([z / x]φ𝑡 z) ↔ z(z y → ([z / x]φ𝑡 z)))
7 impexp 250 . . . . . . . . . . 11 (((z y [z / x]φ) → 𝑡 z) ↔ (z y → ([z / x]φ𝑡 z)))
87bicomi 123 . . . . . . . . . 10 ((z y → ([z / x]φ𝑡 z)) ↔ ((z y [z / x]φ) → 𝑡 z))
98albii 1356 . . . . . . . . 9 (z(z y → ([z / x]φ𝑡 z)) ↔ z((z y [z / x]φ) → 𝑡 z))
106, 9bitri 173 . . . . . . . 8 (z y ([z / x]φ𝑡 z) ↔ z((z y [z / x]φ) → 𝑡 z))
11 sban 1826 . . . . . . . . . . . 12 ([z / x](x y φ) ↔ ([z / x]x y [z / x]φ))
12 clelsb3 2139 . . . . . . . . . . . . 13 ([z / x]x yz y)
1312anbi1i 431 . . . . . . . . . . . 12 (([z / x]x y [z / x]φ) ↔ (z y [z / x]φ))
1411, 13bitri 173 . . . . . . . . . . 11 ([z / x](x y φ) ↔ (z y [z / x]φ))
1514bicomi 123 . . . . . . . . . 10 ((z y [z / x]φ) ↔ [z / x](x y φ))
1615imbi1i 227 . . . . . . . . 9 (((z y [z / x]φ) → 𝑡 z) ↔ ([z / x](x y φ) → 𝑡 z))
1716albii 1356 . . . . . . . 8 (z((z y [z / x]φ) → 𝑡 z) ↔ z([z / x](x y φ) → 𝑡 z))
1810, 17bitri 173 . . . . . . 7 (z y ([z / x]φ𝑡 z) ↔ z([z / x](x y φ) → 𝑡 z))
19 df-clab 2024 . . . . . . . . . 10 (z {x ∣ (x y φ)} ↔ [z / x](x y φ))
2019bicomi 123 . . . . . . . . 9 ([z / x](x y φ) ↔ z {x ∣ (x y φ)})
2120imbi1i 227 . . . . . . . 8 (([z / x](x y φ) → 𝑡 z) ↔ (z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z))
2221albii 1356 . . . . . . 7 (z([z / x](x y φ) → 𝑡 z) ↔ z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z))
2318, 22bitri 173 . . . . . 6 (z y ([z / x]φ𝑡 z) ↔ z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z))
245, 23bd0 9213 . . . . 5 BOUNDED z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z)
2524bdcab 9238 . . . 4 BOUNDED {𝑡z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z)}
26 df-int 3607 . . . 4 {x ∣ (x y φ)} = {𝑡z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z)}
2725, 26bdceqir 9233 . . 3 BOUNDED {x ∣ (x y φ)}
28 bdcriota.ex . . . . 5 ∃!x y φ
29 df-reu 2307 . . . . 5 (∃!x y φ∃!x(x y φ))
3028, 29mpbi 133 . . . 4 ∃!x(x y φ)
31 iotaint 4823 . . . 4 (∃!x(x y φ) → (℩x(x y φ)) = {x ∣ (x y φ)})
3230, 31ax-mp 7 . . 3 (℩x(x y φ)) = {x ∣ (x y φ)}
3327, 32bdceqir 9233 . 2 BOUNDED (℩x(x y φ))
34 df-riota 5411 . 2 (x y φ) = (℩x(x y φ))
3533, 34bdceqir 9233 1 BOUNDED (x y φ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  [wsb 1642  ∃!weu 1897  {cab 2023  wral 2300  ∃!wreu 2302   cint 3606  cio 4808  crio 5410  BOUNDED wbd 9201  BOUNDED wbdc 9229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-bd0 9202  ax-bdim 9203  ax-bdal 9207  ax-bdel 9210  ax-bdsb 9211
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-iota 4810  df-riota 5411  df-bdc 9230
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