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Theorem bdcriota 7110
Description: A class given by a restricted definition binder is bounded, under the given hypotheses. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bdcriota.bd BOUNDED φ
bdcriota.ex ∃!x y φ
Assertion
Ref Expression
bdcriota BOUNDED (x y φ)
Distinct variable group:   x,y
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem bdcriota
Dummy variables z 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdcriota.bd . . . . . . . . 9 BOUNDED φ
21ax-bdsb 7049 . . . . . . . 8 BOUNDED [z / x]φ
3 ax-bdel 7048 . . . . . . . 8 BOUNDED 𝑡 z
42, 3ax-bdim 7041 . . . . . . 7 BOUNDED ([z / x]φ𝑡 z)
54ax-bdal 7045 . . . . . 6 BOUNDED z y ([z / x]φ𝑡 z)
6 df-ral 2289 . . . . . . . . 9 (z y ([z / x]φ𝑡 z) ↔ z(z y → ([z / x]φ𝑡 z)))
7 impexp 250 . . . . . . . . . . 11 (((z y [z / x]φ) → 𝑡 z) ↔ (z y → ([z / x]φ𝑡 z)))
87bicomi 123 . . . . . . . . . 10 ((z y → ([z / x]φ𝑡 z)) ↔ ((z y [z / x]φ) → 𝑡 z))
98albii 1339 . . . . . . . . 9 (z(z y → ([z / x]φ𝑡 z)) ↔ z((z y [z / x]φ) → 𝑡 z))
106, 9bitri 173 . . . . . . . 8 (z y ([z / x]φ𝑡 z) ↔ z((z y [z / x]φ) → 𝑡 z))
11 sban 1811 . . . . . . . . . . . 12 ([z / x](x y φ) ↔ ([z / x]x y [z / x]φ))
12 clelsb3 2124 . . . . . . . . . . . . 13 ([z / x]x yz y)
1312anbi1i 434 . . . . . . . . . . . 12 (([z / x]x y [z / x]φ) ↔ (z y [z / x]φ))
1411, 13bitri 173 . . . . . . . . . . 11 ([z / x](x y φ) ↔ (z y [z / x]φ))
1514bicomi 123 . . . . . . . . . 10 ((z y [z / x]φ) ↔ [z / x](x y φ))
1615imbi1i 227 . . . . . . . . 9 (((z y [z / x]φ) → 𝑡 z) ↔ ([z / x](x y φ) → 𝑡 z))
1716albii 1339 . . . . . . . 8 (z((z y [z / x]φ) → 𝑡 z) ↔ z([z / x](x y φ) → 𝑡 z))
1810, 17bitri 173 . . . . . . 7 (z y ([z / x]φ𝑡 z) ↔ z([z / x](x y φ) → 𝑡 z))
19 df-clab 2009 . . . . . . . . . 10 (z {x ∣ (x y φ)} ↔ [z / x](x y φ))
2019bicomi 123 . . . . . . . . 9 ([z / x](x y φ) ↔ z {x ∣ (x y φ)})
2120imbi1i 227 . . . . . . . 8 (([z / x](x y φ) → 𝑡 z) ↔ (z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z))
2221albii 1339 . . . . . . 7 (z([z / x](x y φ) → 𝑡 z) ↔ z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z))
2318, 22bitri 173 . . . . . 6 (z y ([z / x]φ𝑡 z) ↔ z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z))
245, 23bd0 7051 . . . . 5 BOUNDED z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z)
2524bdcab 7076 . . . 4 BOUNDED {𝑡z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z)}
26 df-int 3590 . . . 4 {x ∣ (x y φ)} = {𝑡z(z {x ∣ (x y φ)} → 𝑡 z)}
2725, 26bdceqir 7071 . . 3 BOUNDED {x ∣ (x y φ)}
28 bdcriota.ex . . . . 5 ∃!x y φ
29 df-reu 2291 . . . . 5 (∃!x y φ∃!x(x y φ))
3028, 29mpbi 133 . . . 4 ∃!x(x y φ)
31 iotaint 4807 . . . 4 (∃!x(x y φ) → (℩x(x y φ)) = {x ∣ (x y φ)})
3230, 31ax-mp 7 . . 3 (℩x(x y φ)) = {x ∣ (x y φ)}
3327, 32bdceqir 7071 . 2 BOUNDED (℩x(x y φ))
34 df-riota 5393 . 2 (x y φ) = (℩x(x y φ))
3533, 34bdceqir 7071 1 BOUNDED (x y φ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1226   = wceq 1228   wcel 1374  [wsb 1627  ∃!weu 1882  {cab 2008  wral 2284  ∃!wreu 2286   cint 3589  cio 4792  crio 5392  BOUNDED wbd 7039  BOUNDED wbdc 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-bd0 7040  ax-bdim 7041  ax-bdal 7045  ax-bdel 7048  ax-bdsb 7049
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-int 3590  df-iota 4794  df-riota 5393  df-bdc 7068
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