Theorem brinxp 4351

Description: Intersection of binary relation with cross product. (Contributed by NM, 9-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp	⊢ ((A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷) → (A𝑅B ↔ A(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))B))

Proof of Theorem brinxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brinxp2 4350	. . 3 ⊢ (A(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))B ↔ (A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷 ∧ A𝑅B))
2		df-3an 886	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷 ∧ A𝑅B) ↔ ((A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷) ∧ A𝑅B))
3	1, 2	bitri 173	. 2 ⊢ (A(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))B ↔ ((A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷) ∧ A𝑅B))
4	3	baibr 828	1 ⊢ ((A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷) → (A𝑅B ↔ A(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))B))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   ∩ cin 2910   class class class wbr 3755   × cxp 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294

This theorem is referenced by:  poinxp  4352  soinxp  4353  seinxp  4354  isores2  5396  ltpiord  6303