ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isores2 Structured version   GIF version

Theorem isores2 5396
Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
isores2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, (𝑆 ∩ (B × B))(A, B))

Proof of Theorem isores2
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of 5069 . . . . . . . 8 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:AB)
2 ffvelrn 5243 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:AB x A) → (𝐻x) B)
32adantrr 448 . . . . . . . . 9 ((𝐻:AB (x A y A)) → (𝐻x) B)
4 ffvelrn 5243 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:AB y A) → (𝐻y) B)
54adantrl 447 . . . . . . . . 9 ((𝐻:AB (x A y A)) → (𝐻y) B)
6 brinxp 4351 . . . . . . . . 9 (((𝐻x) B (𝐻y) B) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y)))
73, 5, 6syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((𝐻:AB (x A y A)) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y)))
81, 7sylan 267 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (x A y A)) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y)))
98anassrs 380 . . . . . 6 (((𝐻:A1-1-ontoB x A) y A) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y)))
109bibi2d 221 . . . . 5 (((𝐻:A1-1-ontoB x A) y A) → ((x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
1110ralbidva 2316 . . . 4 ((𝐻:A1-1-ontoB x A) → (y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
1211ralbidva 2316 . . 3 (𝐻:A1-1-ontoB → (x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
1312pm5.32i 427 . 2 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
14 df-isom 4854 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))))
15 df-isom 4854 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, (𝑆 ∩ (B × B))(A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
1613, 14, 153bitr4i 201 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, (𝑆 ∩ (B × B))(A, B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   wcel 1390  wral 2300  cin 2910   class class class wbr 3755   × cxp 4286  wf 4841  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845   Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by:  isores1  5397
  Copyright terms: Public domain W3C validator