Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isores2 Structured version   GIF version

Theorem isores2 5374
 Description: An isomorphism from one well-order to another can be restricted on either well-order. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
isores2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, (𝑆 ∩ (B × B))(A, B))

Proof of Theorem isores2
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of 5047 . . . . . . . 8 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:AB)
2 ffvelrn 5221 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:AB x A) → (𝐻x) B)
32adantrr 451 . . . . . . . . 9 ((𝐻:AB (x A y A)) → (𝐻x) B)
4 ffvelrn 5221 . . . . . . . . . 10 ((𝐻:AB y A) → (𝐻y) B)
54adantrl 450 . . . . . . . . 9 ((𝐻:AB (x A y A)) → (𝐻y) B)
6 brinxp 4331 . . . . . . . . 9 (((𝐻x) B (𝐻y) B) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y)))
73, 5, 6syl2anc 393 . . . . . . . 8 ((𝐻:AB (x A y A)) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y)))
81, 7sylan 267 . . . . . . 7 ((𝐻:A1-1-ontoB (x A y A)) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y)))
98anassrs 382 . . . . . 6 (((𝐻:A1-1-ontoB x A) y A) → ((𝐻x)𝑆(𝐻y) ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y)))
109bibi2d 221 . . . . 5 (((𝐻:A1-1-ontoB x A) y A) → ((x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
1110ralbidva 2296 . . . 4 ((𝐻:A1-1-ontoB x A) → (y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
1211ralbidva 2296 . . 3 (𝐻:A1-1-ontoB → (x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y)) ↔ x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
1312pm5.32i 430 . 2 ((𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
14 df-isom 4834 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)𝑆(𝐻y))))
15 df-isom 4834 . 2 (𝐻 Isom 𝑅, (𝑆 ∩ (B × B))(A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB x A y A (x𝑅y ↔ (𝐻x)(𝑆 ∩ (B × B))(𝐻y))))
1613, 14, 153bitr4i 201 1 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ 𝐻 Isom 𝑅, (𝑆 ∩ (B × B))(A, B))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1370  ∀wral 2280   ∩ cin 2889   class class class wbr 3734   × cxp 4266  ⟶wf 4821  –1-1-onto→wf1o 4824  ‘cfv 4825   Isom wiso 4826 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-f1o 4832  df-fv 4833  df-isom 4834 This theorem is referenced by:  isores1  5375
 Copyright terms: Public domain W3C validator