ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bnd2 Structured version   GIF version

Theorem bnd2 3916
Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 3915 that picks a subset z out of a possibly proper class B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2.1 A V
Assertion
Ref Expression
bnd2 (x A y B φz(zB x A y z φ))
Distinct variable groups:   φ,z   x,z,A   x,y,B,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y)   A(y)

Proof of Theorem bnd2
Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2306 . . . 4 (y B φy(y B φ))
21ralbii 2324 . . 3 (x A y B φx A y(y B φ))
3 bnd2.1 . . . 4 A V
4 raleq 2499 . . . . 5 (v = A → (x v y(y B φ) ↔ x A y(y B φ)))
5 raleq 2499 . . . . . 6 (v = A → (x v y w (y B φ) ↔ x A y w (y B φ)))
65exbidv 1703 . . . . 5 (v = A → (wx v y w (y B φ) ↔ wx A y w (y B φ)))
74, 6imbi12d 223 . . . 4 (v = A → ((x v y(y B φ) → wx v y w (y B φ)) ↔ (x A y(y B φ) → wx A y w (y B φ))))
8 bnd 3915 . . . 4 (x v y(y B φ) → wx v y w (y B φ))
93, 7, 8vtocl 2602 . . 3 (x A y(y B φ) → wx A y w (y B φ))
102, 9sylbi 114 . 2 (x A y B φwx A y w (y B φ))
11 vex 2554 . . . . 5 w V
1211inex1 3881 . . . 4 (wB) V
13 inss2 3152 . . . . . . 7 (wB) ⊆ B
14 sseq1 2960 . . . . . . 7 (z = (wB) → (zB ↔ (wB) ⊆ B))
1513, 14mpbiri 157 . . . . . 6 (z = (wB) → zB)
1615biantrurd 289 . . . . 5 (z = (wB) → (x A y z φ ↔ (zB x A y z φ)))
17 rexeq 2500 . . . . . . 7 (z = (wB) → (y z φy (wB)φ))
18 elin 3120 . . . . . . . . . 10 (y (wB) ↔ (y w y B))
1918anbi1i 431 . . . . . . . . 9 ((y (wB) φ) ↔ ((y w y B) φ))
20 anass 381 . . . . . . . . 9 (((y w y B) φ) ↔ (y w (y B φ)))
2119, 20bitri 173 . . . . . . . 8 ((y (wB) φ) ↔ (y w (y B φ)))
2221rexbii2 2329 . . . . . . 7 (y (wB)φy w (y B φ))
2317, 22syl6bb 185 . . . . . 6 (z = (wB) → (y z φy w (y B φ)))
2423ralbidv 2320 . . . . 5 (z = (wB) → (x A y z φx A y w (y B φ)))
2516, 24bitr3d 179 . . . 4 (z = (wB) → ((zB x A y z φ) ↔ x A y w (y B φ)))
2612, 25spcev 2641 . . 3 (x A y w (y B φ) → z(zB x A y z φ))
2726exlimiv 1486 . 2 (wx A y w (y B φ) → z(zB x A y z φ))
2810, 27syl 14 1 (x A y B φz(zB x A y z φ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  Vcvv 2551  cin 2910  wss 2911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-in 2918  df-ss 2925
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator