Theorem bnd2 3926

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 3925 that picks a subset z out of a possibly proper class B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	|- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z, A   x, y, B, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y)

Proof of Theorem bnd2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2312	. . . 4 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	ralbii 2330	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) )
3		bnd2.1	. . . 4 |- A e. _V
4		raleq 2505	. . . . 5 |- ( v = A -> ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
5		raleq 2505	. . . . . 6 |- ( v = A -> ( A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
6	5	exbidv 1706	. . . . 5 |- ( v = A -> ( E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) <-> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
7	4, 6	imbi12d 223	. . . 4 |- ( v = A -> ( ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) ) )
8		bnd 3925	. . . 4 |- ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
9	3, 7, 8	vtocl 2608	. . 3 |- ( A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
10	2, 9	sylbi 114	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
11		vex 2560	. . . . 5 |- w e. _V
12	11	inex1 3891	. . . 4 |- ( w i^i B ) e. _V
13		inss2 3158	. . . . . . 7 |- ( w i^i B ) C_ B
14		sseq1 2966	. . . . . . 7 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( z C_ B <-> ( w i^i B ) C_ B ) )
15	13, 14	mpbiri 157	. . . . . 6 |- ( z = ( w i^i B ) -> z C_ B )
16	15	biantrurd 289	. . . . 5 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( A. x e. A E. y e. z ph <-> ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) ) )
17		rexeq 2506	. . . . . . 7 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. ( w i^i B ) ph ) )
18		elin 3126	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( w i^i B ) <-> ( y e. w /\ y e. B ) )
19	18	anbi1i 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( w i^i B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. w /\ y e. B ) /\ ph ) )
20		anass 381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. w /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( y e. w /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
21	19, 20	bitri 173	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( w i^i B ) /\ ph ) <-> ( y e. w /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
22	21	rexbii2 2335	. . . . . . 7 |- ( E. y e. ( w i^i B ) ph <-> E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
23	17, 22	syl6bb 185	. . . . . 6 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
24	23	ralbidv 2326	. . . . 5 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( A. x e. A E. y e. z ph <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
25	16, 24	bitr3d 179	. . . 4 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
26	12, 25	spcev 2647	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )
27	26	exlimiv 1489	. 2 |- ( E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )
28	10, 27	syl 14	1 |- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   i^i cin 2916   C_ wss 2917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931

This theorem is referenced by: (None)