Theorem zfnuleu 3881

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2025 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 3882). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E. x A. y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E! x A. y -. y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E. x A. y -. y e. x
2		nbfal 1254	. . . . . 6 |- ( -. y e. x <-> ( y e. x <-> F. ) )
3	2	albii 1359	. . . . 5 |- ( A. y -. y e. x <-> A. y ( y e. x <-> F. ) )
4	3	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. x A. y -. y e. x <-> E. x A. y ( y e. x <-> F. ) )
5	1, 4	mpbi 133	. . 3 |- E. x A. y ( y e. x <-> F. )
6		nfv 1421	. . . 4 |- F/ x F.
7	6	bm1.1 2025	. . 3 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> F. ) -> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
8	5, 7	ax-mp 7	. 2 |- E! x A. y ( y e. x <-> F. )
9	3	eubii 1909	. 2 |- ( E! x A. y -. y e. x <-> E! x A. y ( y e. x <-> F. ) )
10	8, 9	mpbir 134	1 |- E! x A. y -. y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 98   A.wal 1241   F. wfal 1248   E.wex 1381   E!weu 1900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903

This theorem is referenced by: (None)