Theorem zfnuleu 3872

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 2022 to strengthen the hypothesis in the form of axnul 3873). (Contributed by NM, 22-Dec-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E.xA.y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E!xA.y -. y e. x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E.xA.y -. y e. x
2		nbfal 1253	. . . . . 6 |- (-. y e. x <-> (y e. x <-> F. ))
3	2	albii 1356	. . . . 5 |- (A.y -. y e. x <-> A.y(y e. x <-> F. ))
4	3	exbii 1493	. . . 4 |- (E.xA.y -. y e. x <-> E.xA.y(y e. x <-> F. ))
5	1, 4	mpbi 133	. . 3 |- E.xA.y(y e. x <-> F. )
6		nfv 1418	. . . 4 |- F/x F.
7	6	bm1.1 2022	. . 3 |- (E.xA.y(y e. x <-> F. ) -> E!xA.y(y e. x <-> F. ))
8	5, 7	ax-mp 7	. 2 |- E!xA.y(y e. x <-> F. )
9	3	eubii 1906	. 2 |- (E!xA.y -. y e. x <-> E!xA.y(y e. x <-> F. ))
10	8, 9	mpbir 134	1 |- E!xA.y -. y e. x

Syntax hints:  -. wn 3   <-> wb 98  A.wal 1240   F. wfal 1247  E.wex 1378  E!weu 1897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900

This theorem is referenced by: (None)