Theorem smores 5907

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
smores	|- ( ( Smo A /\ B e. dom A ) -> Smo ( A |` B ) )

Proof of Theorem smores

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 4941	. . . . . . . 8 |- ( Fun A -> Fun ( A |` B ) )
2		funfn 4931	. . . . . . . 8 |- ( Fun A <-> A Fn dom A )
3		funfn 4931	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( A |` B ) <-> ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) )
4	1, 2, 3	3imtr3i 189	. . . . . . 7 |- ( A Fn dom A -> ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) )
5		resss 4635	. . . . . . . . 9 |- ( A |` B ) C_ A
6		rnss 4564	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` B ) C_ A -> ran ( A |` B ) C_ ran A )
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ran ( A |` B ) C_ ran A
8		sstr 2953	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( A |` B ) C_ ran A /\ ran A C_ On ) -> ran ( A |` B ) C_ On )
9	7, 8	mpan 400	. . . . . . 7 |- ( ran A C_ On -> ran ( A |` B ) C_ On )
10	4, 9	anim12i 321	. . . . . 6 |- ( ( A Fn dom A /\ ran A C_ On ) -> ( ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) /\ ran ( A |` B ) C_ On ) )
11		df-f 4906	. . . . . 6 |- ( A : dom A --> On <-> ( A Fn dom A /\ ran A C_ On ) )
12		df-f 4906	. . . . . 6 |- ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On <-> ( ( A |` B ) Fn dom ( A |` B ) /\ ran ( A |` B ) C_ On ) )
13	10, 11, 12	3imtr4i 190	. . . . 5 |- ( A : dom A --> On -> ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( A : dom A --> On -> ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On ) )
15		ordelord 4118	. . . . . . 7 |- ( ( Ord dom A /\ B e. dom A ) -> Ord B )
16	15	expcom 109	. . . . . 6 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord B ) )
17		ordin 4122	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ Ord dom A ) -> Ord ( B i^i dom A ) )
18	17	ex 108	. . . . . 6 |- ( Ord B -> ( Ord dom A -> Ord ( B i^i dom A ) ) )
19	16, 18	syli 33	. . . . 5 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord ( B i^i dom A ) ) )
20		dmres 4632	. . . . . 6 |- dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A )
21		ordeq 4109	. . . . . 6 |- ( dom ( A |` B ) = ( B i^i dom A ) -> ( Ord dom ( A |` B ) <-> Ord ( B i^i dom A ) ) )
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( Ord dom ( A |` B ) <-> Ord ( B i^i dom A ) )
23	19, 22	syl6ibr 151	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( Ord dom A -> Ord dom ( A |` B ) ) )
24		dmss 4534	. . . . . . . . 9 |- ( ( A |` B ) C_ A -> dom ( A |` B ) C_ dom A )
25	5, 24	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom ( A |` B ) C_ dom A
26		ssralv 3004	. . . . . . . 8 |- ( dom ( A |` B ) C_ dom A -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
28		ssralv 3004	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( A |` B ) C_ dom A -> ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
29	25, 28	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
30	29	ralimi 2384	. . . . . . 7 |- ( A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
31	27, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
32		inss1 3157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i dom A ) C_ B
33	20, 32	eqsstri 2975	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( A |` B ) C_ B
34		simpl 102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> x e. dom ( A |` B ) )
35	33, 34	sseldi 2943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> x e. B )
36		fvres 5198	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( ( A |` B ) ` x ) = ( A ` x ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( A |` B ) ` x ) = ( A ` x ) )
38		simpr 103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> y e. dom ( A |` B ) )
39	33, 38	sseldi 2943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> y e. B )
40		fvres 5198	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B -> ( ( A |` B ) ` y ) = ( A ` y ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( A |` B ) ` y ) = ( A ` y ) )
42	37, 41	eleq12d 2108	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) <-> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
43	42	imbi2d 219	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. dom ( A |` B ) /\ y e. dom ( A |` B ) ) -> ( ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
44	43	ralbidva 2322	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( A |` B ) -> ( A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
45	44	ralbiia 2338	. . . . . 6 |- ( A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) <-> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) )
46	31, 45	sylibr 137	. . . . 5 |- ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) )
47	46	a1i 9	. . . 4 |- ( B e. dom A -> ( A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) -> A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) )
48	14, 23, 47	3anim123d 1214	. . 3 |- ( B e. dom A -> ( ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) -> ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On /\ Ord dom ( A |` B ) /\ A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) ) )
49		df-smo 5901	. . 3 |- ( Smo A <-> ( A : dom A --> On /\ Ord dom A /\ A. x e. dom A A. y e. dom A ( x e. y -> ( A ` x ) e. ( A ` y ) ) ) )
50		df-smo 5901	. . 3 |- ( Smo ( A |` B ) <-> ( ( A |` B ) : dom ( A |` B ) --> On /\ Ord dom ( A |` B ) /\ A. x e. dom ( A |` B ) A. y e. dom ( A |` B ) ( x e. y -> ( ( A |` B ) ` x ) e. ( ( A |` B ) ` y ) ) ) )
51	48, 49, 50	3imtr4g 194	. 2 |- ( B e. dom A -> ( Smo A -> Smo ( A |` B ) ) )
52	51	impcom 116	1 |- ( ( Smo A /\ B e. dom A ) -> Smo ( A |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   i^i cin 2916   C_ wss 2917   Ord word 4099   Oncon0 4100   dom cdm 4345   ran crn 4346   |` cres 4347   Fun wfun 4896   Fn wfn 4897   -->wf 4898   ` cfv 4902   Smo wsmo 5900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-iord 4103  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-smo 5901

This theorem is referenced by:  smores3  5908