ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resdif Structured version   Unicode version

Theorem resdif 5091
Description: The restriction of a one-to-one onto function to a difference maps onto the difference of the images. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
resdif  Fun  `' F  F  |`  : -onto-> C  F  |`  : -onto-> D  F  |`  \  :  \  -1-1-onto-> C  \  D

Proof of Theorem resdif
StepHypRef Expression
1 fofun 5050 . . . . . 6  F  |`  : -onto-> C  Fun  F  |`
2 difss 3064 . . . . . . 7 
\  C_
3 fof 5049 . . . . . . . 8  F  |`  : -onto-> C  F  |`  : --> C
4 fdm 4993 . . . . . . . 8  F  |`  : --> C  dom  F  |`
53, 4syl 14 . . . . . . 7  F  |`  : -onto-> C  dom  F  |`
62, 5syl5sseqr 2988 . . . . . 6  F  |`  : -onto-> C  \  C_  dom  F  |`
7 fores 5058 . . . . . 6  Fun  F  |`  \  C_  dom  F  |`  F  |`  |`  \  : 
\  -onto-> F  |` 
"  \
81, 6, 7syl2anc 391 . . . . 5  F  |`  : -onto-> C  F  |`  |`  \  : 
\  -onto-> F  |` 
"  \
9 resres 4567 . . . . . . . 8  F  |`  |`  \  F  |`  i^i  \
10 indif 3174 . . . . . . . . 9  i^i  \  \
1110reseq2i 4552 . . . . . . . 8  F  |`  i^i  \  F  |`  \
129, 11eqtri 2057 . . . . . . 7  F  |`  |`  \  F  |`  \
13 foeq1 5045 . . . . . . 7  F  |`  |`  \  F  |`  \  F  |`  |`  \  : 
\  -onto-> F  |` 
"  \  F  |`  \  : 
\  -onto-> F  |` 
"  \
1412, 13ax-mp 7 . . . . . 6  F  |`  |`  \  : 
\  -onto-> F  |` 
"  \  F  |`  \  : 
\  -onto-> F  |` 
"  \
1512rneqi 4505 . . . . . . . 8  ran  F  |`  |`  \  ran  F  |` 
\
16 df-ima 4301 . . . . . . . 8  F  |`  "  \  ran  F  |`  |`  \
17 df-ima 4301 . . . . . . . 8  F
"  \  ran  F  |` 
\
1815, 16, 173eqtr4i 2067 . . . . . . 7  F  |`  "  \  F "  \
19 foeq3 5047 . . . . . . 7  F  |` 
"  \  F " 
\  F  |`  \  : 
\  -onto-> F  |` 
"  \  F  |`  \  : 
\  -onto-> F " 
\
2018, 19ax-mp 7 . . . . . 6  F  |`  \  :  \  -onto-> F  |`  "  \  F  |`  \  :  \  -onto-> F "  \
2114, 20bitri 173 . . . . 5  F  |`  |`  \  : 
\  -onto-> F  |` 
"  \  F  |`  \  : 
\  -onto-> F " 
\
228, 21sylib 127 . . . 4  F  |`  : -onto-> C  F  |`  \  :  \ 
-onto-> F "  \
23 funres11 4914 . . . 4  Fun  `' F  Fun  `' F  |` 
\
24 dff1o3 5075 . . . . 5  F  |`  \  :  \ 
-1-1-onto-> F " 
\  F  |`  \  : 
\  -onto-> F " 
\  Fun  `' F  |`  \
2524biimpri 124 . . . 4  F  |`  \  :  \  -onto-> F "  \  Fun  `' F  |` 
\  F  |`  \  : 
\  -1-1-onto-> F
"  \
2622, 23, 25syl2anr 274 . . 3  Fun  `' F  F  |`  : -onto-> C  F  |`  \  :  \  -1-1-onto-> F "  \
27263adant3 923 . 2  Fun  `' F  F  |`  : -onto-> C  F  |`  : -onto-> D  F  |`  \  :  \  -1-1-onto-> F "  \
28 df-ima 4301 . . . . . . 7  F
" 
ran  F  |`
29 forn 5052 . . . . . . 7  F  |`  : -onto-> C  ran  F  |`  C
3028, 29syl5eq 2081 . . . . . 6  F  |`  : -onto-> C  F "  C
31 df-ima 4301 . . . . . . 7  F
" 
ran  F  |`
32 forn 5052 . . . . . . 7  F  |`  : -onto-> D  ran  F  |`  D
3331, 32syl5eq 2081 . . . . . 6  F  |`  : -onto-> D  F "  D
3430, 33anim12i 321 . . . . 5  F  |`  : -onto-> C  F  |`  : -onto-> D  F "  C  F "  D
35 imadif 4922 . . . . . 6  Fun  `' F  F "  \  F "  \  F "
36 difeq12 3051 . . . . . 6  F "  C  F "  D  F "  \  F "  C  \  D
3735, 36sylan9eq 2089 . . . . 5  Fun  `' F  F "  C  F "  D  F "  \  C  \  D
3834, 37sylan2 270 . . . 4  Fun  `' F  F  |`  : -onto-> C  F  |`  : -onto-> D  F
"  \  C  \  D
39383impb 1099 . . 3  Fun  `' F  F  |`  : -onto-> C  F  |`  : -onto-> D  F "  \  C  \  D
40 f1oeq3 5062 . . 3  F " 
\  C  \  D  F  |` 
\  :  \  -1-1-onto-> F "  \  F  |`  \  :  \  -1-1-onto-> C  \  D
4139, 40syl 14 . 2  Fun  `' F  F  |`  : -onto-> C  F  |`  : -onto-> D  F  |`  \  : 
\  -1-1-onto-> F
"  \  F  |`  \  : 
\  -1-1-onto-> C 
\  D
4227, 41mpbid 135 1  Fun  `' F  F  |`  : -onto-> C  F  |`  : -onto-> D  F  |`  \  :  \  -1-1-onto-> C  \  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242    \ cdif 2908    i^i cin 2910    C_ wss 2911   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839   -->wf 4841   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator