ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovg Unicode version

Theorem ovg 5581
Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ovg.1
ovg.2
ovg.3  C
ovg.4  R  S
ovg.5  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
Assertion
Ref Expression
ovg  R  S  C  D  F  C
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,,   ,,   , R,,   , S,,   ,,,   ,,,   , C,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   ()   ()    D(,,)    F(,,)

Proof of Theorem ovg
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5458 . . . . 5  F  F `  <. ,  >.
2 ovg.5 . . . . . 6  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
32fveq1i 5122 . . . . 5  F `
 <. ,  >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.
41, 3eqtri 2057 . . . 4  F  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.
54eqeq1i 2044 . . 3  F  C  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C
6 eqeq2 2046 . . . . . . . . . 10  c  C  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  c  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C
7 opeq2 3541 . . . . . . . . . . 11  c  C  <. <. ,  >. ,  c >.  <. <. ,  >. ,  C >.
87eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10  c  C  <. <. ,  >. ,  c >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }  <. <. ,  >. ,  C >. 
{ <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
96, 8bibi12d 224 . . . . . . . . 9  c  C  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  c 
<. <. ,  >. ,  c >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
109imbi2d 219 . . . . . . . 8  c  C  R  S  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  c 
<. <. ,  >. ,  c >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }  R  S  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
11 ovg.4 . . . . . . . . . . . 12  R  S
1211ex 108 . . . . . . . . . . 11  R  S
1312alrimivv 1752 . . . . . . . . . 10  R  S
14 fnoprabg 5544 . . . . . . . . . 10  R  S  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }  Fn  { <. ,  >.  |  R  S }
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }  Fn  { <. ,  >.  |  R  S }
16 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12  R  R
1716anbi1d 438 . . . . . . . . . . 11  R  S  R  S
18 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12  S  S
1918anbi2d 437 . . . . . . . . . . 11  R  S  R  S
2017, 19opelopabg 3996 . . . . . . . . . 10  R  S  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  R  S }  R  S
2120ibir 166 . . . . . . . . 9  R  S  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  R  S }
22 fnopfvb 5158 . . . . . . . . 9  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }  Fn  { <. ,  >.  |  R  S }  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  R  S }  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  c 
<. <. ,  >. ,  c >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
2315, 21, 22syl2an 273 . . . . . . . 8  R  S  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  c 
<. <. ,  >. ,  c >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
2410, 23vtoclg 2607 . . . . . . 7  C  D  R  S  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
2524com12 27 . . . . . 6  R  S  C  D  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C  <. <. ,  >. ,  C >. 
{ <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
2625exp32 347 . . . . 5  R  S  C  D  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C  <. <. ,  >. ,  C >. 
{ <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
27263imp2 1118 . . . 4  R  S  C  D  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }
28 ovg.1 . . . . . . 7
2917, 28anbi12d 442 . . . . . 6  R  S  R  S
30 ovg.2 . . . . . . 7
3119, 30anbi12d 442 . . . . . 6  R  S  R  S
32 ovg.3 . . . . . . 7  C
3332anbi2d 437 . . . . . 6  C  R  S  R  S
3429, 31, 33eloprabg 5534 . . . . 5  R  S  C  D  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }  R  S
3534adantl 262 . . . 4  R  S  C  D  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  R  S  }  R  S
3627, 35bitrd 177 . . 3  R  S  C  D  { <. <. ,  >. ,  >.  |  R  S  } `  <. ,  >.  C  R  S
375, 36syl5bb 181 . 2  R  S  C  D  F  C  R  S
38 biidd 161 . . . . 5  R  S  R  S  R  S
3938bianabs 543 . . . 4  R  S  R  S
40393adant3 923 . . 3  R  S  C  D  R  S
4140adantl 262 . 2  R  S  C  D  R  S
4237, 41bitrd 177 1  R  S  C  D  F  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  weu 1897   <.cop 3370   {copab 3808    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator