ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isotr Structured version   Unicode version

Theorem isotr 5399
Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr  H  Isom  R ,  S  ,  G  Isom  S ,  T  ,  C  G  o.  H  Isom  R ,  T  ,  C

Proof of Theorem isotr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . 4  G : -1-1-onto-> C  S  G `  T G `
 G :
-1-1-onto-> C
2 simpl 102 . . . 4  H : -1-1-onto->  R  H `  S H `
 H :
-1-1-onto->
3 f1oco 5092 . . . 4  G : -1-1-onto-> C  H :
-1-1-onto->  G  o.  H : -1-1-onto-> C
41, 2, 3syl2anr 274 . . 3  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `  G : -1-1-onto-> C  S  G `  T G `
 G  o.  H : -1-1-onto-> C
5 f1of 5069 . . . . . . . . . . . 12  H : -1-1-onto->  H :
-->
65ad2antrr 457 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  H :
-->
7 simprl 483 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `
86, 7ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  H `
9 simprr 484 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `
106, 9ffvelrnd 5246 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  H `
11 simplrr 488 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  S  G `  T G `
12 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12  H `  S  H `
 S
13 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . 13  H `  G `  G `  H `
1413breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12  H `  G `  T G `  G `  H `  T G `
1512, 14bibi12d 224 . . . . . . . . . . 11  H `  S  G `
 T G `  H `  S  G `  H `  T G `
16 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12  H `  H `  S  H `
 S H `
17 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . 13  H `  G `  G `  H `
1817breq2d 3767 . . . . . . . . . . . 12  H `  G `  H `
 T G `  G `  H `  T G `
 H `
1916, 18bibi12d 224 . . . . . . . . . . 11  H `  H `  S  G `
 H `  T G `  H `
 S H `  G `  H `  T G `  H `
2015, 19rspc2va 2657 . . . . . . . . . 10  H `  H `  S  G `
 T G `  H `  S H `  G `  H `  T G `
 H `
218, 10, 11, 20syl21anc 1133 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  H `  S H `  G `  H `  T G `
 H `
22 fvco3 5187 . . . . . . . . . . 11  H : -->  G  o.  H `  G `  H `
236, 7, 22syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  G  o.  H `  G `  H `
24 fvco3 5187 . . . . . . . . . . 11  H : -->  G  o.  H `  G `  H `
256, 9, 24syl2anc 391 . . . . . . . . . 10  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  G  o.  H `  G `  H `
2623, 25breq12d 3768 . . . . . . . . 9  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  G  o.  H `  T G  o.  H `  G `  H `  T G `  H `
2721, 26bitr4d 180 . . . . . . . 8  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  H `  S H `  G  o.  H `  T G  o.  H `
2827bibi2d 221 . . . . . . 7  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `  R  H `
 S H `  R  G  o.  H `  T G  o.  H `
29282ralbidva 2340 . . . . . 6  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `  T G `
 R  H `
 S H `  R  G  o.  H `  T G  o.  H `
3029biimpd 132 . . . . 5  H : -1-1-onto->  G : -1-1-onto-> C  S  G `  T G `
 R  H `
 S H `  R  G  o.  H `  T G  o.  H `
3130impancom 247 . . . 4  H : -1-1-onto->  R  H `  S H `
 G : -1-1-onto-> C  S  G `  T G `
 R  G  o.  H `  T G  o.  H `
3231imp 115 . . 3  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `  G : -1-1-onto-> C  S  G `  T G `
 R  G  o.  H `  T G  o.  H `
334, 32jca 290 . 2  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `  G : -1-1-onto-> C  S  G `  T G `
 G  o.  H : -1-1-onto-> C  R  G  o.  H `  T G  o.  H `
34 df-isom 4854 . . 3  H 
Isom  R ,  S  ,  H : -1-1-onto->  R  H `
 S H `
35 df-isom 4854 . . 3  G 
Isom  S ,  T  ,  C  G : -1-1-onto-> C  S  G `
 T G `
3634, 35anbi12i 433 . 2  H  Isom  R ,  S  ,  G  Isom  S ,  T  ,  C  H : -1-1-onto->  R  H `  S H `
 G : -1-1-onto-> C  S  G `  T G `
37 df-isom 4854 . 2  G  o.  H 
Isom  R ,  T  ,  C  G  o.  H : -1-1-onto-> C  R  G  o.  H `
 T G  o.  H `
3833, 36, 373imtr4i 190 1  H  Isom  R ,  S  ,  G  Isom  S ,  T  ,  C  G  o.  H  Isom  R ,  T  ,  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755    o. ccom 4292   -->wf 4841   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845    Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator