ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fundmen Unicode version

Theorem fundmen 6222
Description: A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 28-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fundmen.1  F 
_V
Assertion
Ref Expression
fundmen  Fun 
F  dom  F  ~~  F

Proof of Theorem fundmen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fundmen.1 . . . 4  F 
_V
21dmex 4541 . . 3  dom  F  _V
32a1i 9 . 2  Fun 
F  dom  F 
_V
41a1i 9 . 2  Fun 
F  F  _V
5 funfvop 5222 . . 3  Fun  F  dom  F  <. ,  F `
 >.  F
65ex 108 . 2  Fun 
F  dom  F  <. ,  F `  >.  F
7 funrel 4862 . . 3  Fun 
F  Rel  F
8 elreldm 4503 . . . 4  Rel  F  F  |^| |^|  dom  F
98ex 108 . . 3  Rel 
F  F  |^| |^|  dom  F
107, 9syl 14 . 2  Fun 
F  F  |^| |^|  dom  F
11 df-rel 4295 . . . . . . . . 9  Rel 
F  F  C_  _V  X.  _V
127, 11sylib 127 . . . . . . . 8  Fun 
F  F  C_  _V  X.  _V
1312sselda 2939 . . . . . . 7  Fun  F  F  _V  X.  _V
14 elvv 4345 . . . . . . 7  _V  X.  _V  <. ,  >.
1513, 14sylib 127 . . . . . 6  Fun  F  F 
<. ,  >.
16 inteq 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  |^| 
|^| <. ,  >.
1716inteqd 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  |^| |^|  |^| |^| <. ,  >.
18 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
_V
19 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
_V
2018, 19op1stb 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |^| |^| <. ,  >.
2117, 20syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  |^| |^|
22 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |^| |^| 
|^| |^|
2321, 22syl5ibr 145 . . . . . . . . . . . . . 14  |^| |^|  <. ,  >.
24 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. ,  >.
2523, 24syl6 29 . . . . . . . . . . . . 13  |^| |^|  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
2625imp 115 . . . . . . . . . . . 12  |^| |^|  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
27 eqeq2 2046 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
2827biimprcd 149 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
2928adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  |^| |^|  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
3026, 29mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |^| |^|  <. ,  >.  <. ,  >.
3130ancoms 255 . . . . . . . . . 10  <. ,  >.  |^| |^|  <. ,  >.
3231adantl 262 . . . . . . . . 9  Fun  F  F  <. ,  >.  |^| |^|  <. ,  >.
3330eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |^| |^|  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F
3433adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14  Fun  F  |^| |^|  <. ,  >.  F  <. ,  >.  F
35 funopfv 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fun 
F  <. ,  >.  F  F `
3635adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  Fun  F  |^| |^|  <. ,  >.  <. ,  >.  F  F `
3734, 36sylbid 139 . . . . . . . . . . . . 13  Fun  F  |^| |^|  <. ,  >.  F  F `
3837exp32 347 . . . . . . . . . . . 12  Fun 
F  |^| |^|  <. ,  >.  F  F `
3938com24 81 . . . . . . . . . . 11  Fun 
F  F  <. ,  >.  |^| |^|  F `
4039imp43 337 . . . . . . . . . 10  Fun  F  F  <. ,  >.  |^| |^|  F `
4140opeq2d 3547 . . . . . . . . 9  Fun  F  F  <. ,  >.  |^| |^|  <. ,  F ` 
>.  <. ,  >.
4232, 41eqtr4d 2072 . . . . . . . 8  Fun  F  F  <. ,  >.  |^| |^|  <. ,  F `  >.
4342exp32 347 . . . . . . 7  Fun  F  F  <. ,  >.  |^| |^|  <. ,  F `  >.
4443exlimdvv 1774 . . . . . 6  Fun  F  F  <. ,  >. 
|^| |^|  <. ,  F ` 
>.
4515, 44mpd 13 . . . . 5  Fun  F  F  |^| |^|  <. ,  F `  >.
4645adantrl 447 . . . 4  Fun  F  dom  F  F 
|^| |^|  <. ,  F ` 
>.
47 inteq 3609 . . . . . . . . 9  <. ,  F ` 
>.  |^| 
|^| <. ,  F ` 
>.
4847inteqd 3611 . . . . . . . 8  <. ,  F ` 
>.  |^| |^|  |^| |^| <. ,  F ` 
>.
4948adantl 262 . . . . . . 7  Fun  F  dom  F  <. ,  F `  >.  |^| |^|  |^| |^| <. ,  F `  >.
50 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
51 funfvex 5135 . . . . . . . . 9  Fun  F  dom  F  F `  _V
52 op1stbg 4176 . . . . . . . . 9  _V  F `  _V  |^| |^| <. ,  F ` 
>.
5350, 51, 52sylancr 393 . . . . . . . 8  Fun  F  dom  F  |^| |^| <. ,  F ` 
>.
5453adantr 261 . . . . . . 7  Fun  F  dom  F  <. ,  F `  >.  |^| |^|
<. ,  F `
 >.
5549, 54eqtr2d 2070 . . . . . 6  Fun  F  dom  F  <. ,  F `  >.  |^| |^|
5655ex 108 . . . . 5  Fun  F  dom  F  <. ,  F `  >.  |^| |^|
5756adantrr 448 . . . 4  Fun  F  dom  F  F 
<. ,  F `
 >.  |^| |^|
5846, 57impbid 120 . . 3  Fun  F  dom  F  F 
|^| |^| 
<. ,  F `
 >.
5958ex 108 . 2  Fun 
F  dom  F  F  |^| |^|  <. ,  F `  >.
603, 4, 6, 10, 59en3d 6185 1  Fun 
F  dom  F  ~~  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   <.cop 3370   |^|cint 3606   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   dom cdm 4288   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839   ` cfv 4845    ~~ cen 6155
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-en 6158
This theorem is referenced by:  fundmeng  6223
  Copyright terms: Public domain W3C validator