Theorem fundmen 6222

Description: A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 28-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fundmen.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fundmen	|- ( Fun F -> dom F ~~ F)

Proof of Theorem fundmen

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmen.1	. . . 4 |- F e. _V
2	1	dmex 4541	. . 3 |- dom F e. _V
3	2	a1i 9	. 2 |- ( Fun F -> dom F e. _V)
4	1	a1i 9	. 2 |- ( Fun F -> F e. _V)
5		funfvop 5222	. . 3 |- (( Fun F /\ x e. dom F) -> <.x , ( F ` x) >. e. F)
6	5	ex 108	. 2 |- ( Fun F -> (x e. dom F -> <.x , ( F ` x) >. e. F))
7		funrel 4862	. . 3 |- ( Fun F -> Rel F)
8		elreldm 4503	. . . 4 |- (( Rel F /\ y e. F) -> |^| |^|y e. dom F)
9	8	ex 108	. . 3 |- ( Rel F -> (y e. F -> |^| |^|y e. dom F))
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( Fun F -> (y e. F -> |^| |^|y e. dom F))
11		df-rel 4295	. . . . . . . . 9 |- ( Rel F <-> F C_ ( _V X. _V))
12	7, 11	sylib 127	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> F C_ ( _V X. _V))
13	12	sselda 2939	. . . . . . 7 |- (( Fun F /\ y e. F) -> y e. ( _V X. _V))
14		elvv 4345	. . . . . . 7 |- (y e. ( _V X. _V) <-> E.zE.w y = <.z , w >.)
15	13, 14	sylib 127	. . . . . 6 |- (( Fun F /\ y e. F) -> E.zE.w y = <.z , w >.)
16		inteq 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = <.z , w >. -> |^|y = |^| <.z , w >.)
17	16	inteqd 3611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = <.z , w >. -> |^| |^|y = |^| |^| <.z , w >.)
18		vex 2554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
19		vex 2554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- w e. _V
20	18, 19	op1stb 4175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- |^| |^| <.z , w >. = z
21	17, 20	syl6eq 2085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = <.z , w >. -> |^| |^|y = z)
22		eqeq1 2043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = |^| |^|y -> (x = z <-> |^| |^|y = z))
23	21, 22	syl5ibr 145	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = |^| |^|y -> (y = <.z , w >. -> x = z))
24		opeq1 3540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = z -> <.x , w >. = <.z , w >.)
25	23, 24	syl6 29	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = |^| |^|y -> (y = <.z , w >. -> <.x , w >. = <.z , w >.))
26	25	imp 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = |^| |^|y /\ y = <.z , w >.) -> <.x , w >. = <.z , w >.)
27		eqeq2 2046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <.x , w >. = <.z , w >. -> (y = <.x , w >. <-> y = <.z , w >.))
28	27	biimprcd 149	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = <.z , w >. -> ( <.x , w >. = <.z , w >. -> y = <.x , w >.))
29	28	adantl 262	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = |^| |^|y /\ y = <.z , w >.) -> ( <.x , w >. = <.z , w >. -> y = <.x , w >.))
30	26, 29	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ((x = |^| |^|y /\ y = <.z , w >.) -> y = <.x , w >.)
31	30	ancoms 255	. . . . . . . . . 10 |- ((y = <.z , w >. /\ x = |^| |^|y) -> y = <.x , w >.)
32	31	adantl 262	. . . . . . . . 9 |- ((( Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z , w >. /\ x = |^| |^|y)) -> y = <.x , w >.)
33	30	eleq1d 2103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x = |^| |^|y /\ y = <.z , w >.) -> (y e. F <-> <.x , w >. e. F))
34	33	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( Fun F /\ (x = |^| |^|y /\ y = <.z , w >.)) -> (y e. F <-> <.x , w >. e. F))
35		funopfv 5156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun F -> ( <.x , w >. e. F -> ( F ` x) = w))
36	35	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( Fun F /\ (x = |^| |^|y /\ y = <.z , w >.)) -> ( <.x , w >. e. F -> ( F ` x) = w))
37	34, 36	sylbid 139	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( Fun F /\ (x = |^| |^|y /\ y = <.z , w >.)) -> (y e. F -> ( F ` x) = w))
38	37	exp32 347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> (x = |^| |^|y -> (y = <.z , w >. -> (y e. F -> ( F ` x) = w))))
39	38	com24 81	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> (y e. F -> (y = <.z , w >. -> (x = |^| |^|y -> ( F ` x) = w))))
40	39	imp43 337	. . . . . . . . . 10 |- ((( Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z , w >. /\ x = |^| |^|y)) -> ( F ` x) = w)
41	40	opeq2d 3547	. . . . . . . . 9 |- ((( Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z , w >. /\ x = |^| |^|y)) -> <.x , ( F ` x) >. = <.x , w >.)
42	32, 41	eqtr4d 2072	. . . . . . . 8 |- ((( Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z , w >. /\ x = |^| |^|y)) -> y = <.x , ( F ` x) >.)
43	42	exp32 347	. . . . . . 7 |- (( Fun F /\ y e. F) -> (y = <.z , w >. -> (x = |^| |^|y -> y = <.x , ( F ` x) >.)))
44	43	exlimdvv 1774	. . . . . 6 |- (( Fun F /\ y e. F) -> (E.zE.w y = <.z , w >. -> (x = |^| |^|y -> y = <.x , ( F ` x) >.)))
45	15, 44	mpd 13	. . . . 5 |- (( Fun F /\ y e. F) -> (x = |^| |^|y -> y = <.x , ( F ` x) >.))
46	45	adantrl 447	. . . 4 |- (( Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (x = |^| |^|y -> y = <.x , ( F ` x) >.))
47		inteq 3609	. . . . . . . . 9 |- (y = <.x , ( F ` x) >. -> |^|y = |^| <.x , ( F ` x) >.)
48	47	inteqd 3611	. . . . . . . 8 |- (y = <.x , ( F ` x) >. -> |^| |^|y = |^| |^| <.x , ( F ` x) >.)
49	48	adantl 262	. . . . . . 7 |- ((( Fun F /\ x e. dom F) /\ y = <.x , ( F ` x) >.) -> |^| |^|y = |^| |^| <.x , ( F ` x) >.)
50		vex 2554	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
51		funfvex 5135	. . . . . . . . 9 |- (( Fun F /\ x e. dom F) -> ( F ` x) e. _V)
52		op1stbg 4176	. . . . . . . . 9 |- ((x e. _V /\ ( F ` x) e. _V) -> |^| |^| <.x , ( F ` x) >. = x)
53	50, 51, 52	sylancr 393	. . . . . . . 8 |- (( Fun F /\ x e. dom F) -> |^| |^| <.x , ( F ` x) >. = x)
54	53	adantr 261	. . . . . . 7 |- ((( Fun F /\ x e. dom F) /\ y = <.x , ( F ` x) >.) -> |^| |^| <.x , ( F ` x) >. = x)
55	49, 54	eqtr2d 2070	. . . . . 6 |- ((( Fun F /\ x e. dom F) /\ y = <.x , ( F ` x) >.) -> x = |^| |^|y)
56	55	ex 108	. . . . 5 |- (( Fun F /\ x e. dom F) -> (y = <.x , ( F ` x) >. -> x = |^| |^|y))
57	56	adantrr 448	. . . 4 |- (( Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (y = <.x , ( F ` x) >. -> x = |^| |^|y))
58	46, 57	impbid 120	. . 3 |- (( Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (x = |^| |^|y <-> y = <.x , ( F ` x) >.))
59	58	ex 108	. 2 |- ( Fun F -> ((x e. dom F /\ y e. F) -> (x = |^| |^|y <-> y = <.x , ( F ` x) >.)))
60	3, 4, 6, 10, 59	en3d 6185	1 |- ( Fun F -> dom F ~~ F)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   C_ wss 2911   <.cop 3370   |^|cint 3606   class class class wbr 3755   X. cxp 4286   dom cdm 4288   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839   ` cfv 4845   ~~ cen 6155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-en 6158

This theorem is referenced by:  fundmeng  6223