Theorem fliftel 5376

Description: Elementhood in the relation F. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
flift.1	|- F = ran (x e. X |-> <.A , B >.)
flift.2	|- ((ph /\ x e. X) -> A e. R)
flift.3	|- ((ph /\ x e. X) -> B e. S)

Assertion

Ref	Expression
fliftel	|- (ph -> ( C F D <-> E.x e. X ( C = A /\ D = B)))

Distinct variable groups:   x, C   x, R   x, D   ph,x   x, X   x, S

Allowed substitution hints:   A(x)   B(x)   F(x)

Proof of Theorem fliftel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3756	. . . 4 |- ( C F D <-> <. C , D >. e. F)
2		flift.1	. . . . 5 |- F = ran (x e. X |-> <.A , B >.)
3	2	eleq2i 2101	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. F <-> <. C , D >. e. ran (x e. X |-> <.A , B >.))
4	1, 3	bitri 173	. . 3 |- ( C F D <-> <. C , D >. e. ran (x e. X |-> <.A , B >.))
5		flift.2	. . . . . 6 |- ((ph /\ x e. X) -> A e. R)
6		flift.3	. . . . . 6 |- ((ph /\ x e. X) -> B e. S)
7		elex 2560	. . . . . . 7 |- (A e. R -> A e. _V)
8		elex 2560	. . . . . . 7 |- (B e. S -> B e. _V)
9		opexgOLD 3956	. . . . . . 7 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> <.A , B >. e. _V)
10	7, 8, 9	syl2an 273	. . . . . 6 |- ((A e. R /\ B e. S) -> <.A , B >. e. _V)
11	5, 6, 10	syl2anc 391	. . . . 5 |- ((ph /\ x e. X) -> <.A , B >. e. _V)
12	11	ralrimiva 2386	. . . 4 |- (ph -> A.x e. X <.A , B >. e. _V)
13		eqid 2037	. . . . 5 |- (x e. X |-> <.A , B >.) = (x e. X |-> <.A , B >.)
14	13	elrnmptg 4529	. . . 4 |- (A.x e. X <.A , B >. e. _V -> ( <. C , D >. e. ran (x e. X |-> <.A , B >.) <-> E.x e. X <. C , D >. = <.A , B >.))
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- (ph -> ( <. C , D >. e. ran (x e. X |-> <.A , B >.) <-> E.x e. X <. C , D >. = <.A , B >.))
16	4, 15	syl5bb 181	. 2 |- (ph -> ( C F D <-> E.x e. X <. C , D >. = <.A , B >.))
17		opthg2 3967	. . . 4 |- ((A e. R /\ B e. S) -> ( <. C , D >. = <.A , B >. <-> ( C = A /\ D = B)))
18	5, 6, 17	syl2anc 391	. . 3 |- ((ph /\ x e. X) -> ( <. C , D >. = <.A , B >. <-> ( C = A /\ D = B)))
19	18	rexbidva 2317	. 2 |- (ph -> (E.x e. X <. C , D >. = <.A , B >. <-> E.x e. X ( C = A /\ D = B)))
20	16, 19	bitrd 177	1 |- (ph -> ( C F D <-> E.x e. X ( C = A /\ D = B)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242   e. wcel 1390  A.wral 2300  E.wrex 2301   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   |-> cmpt 3809   ran crn 4289

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299

This theorem is referenced by:  fliftcnv  5378  fliftfun  5379  fliftf  5382  fliftval  5383  qliftel  6122