ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fliftfun Structured version   Unicode version

Theorem fliftfun 5379
Description: The function  F is the unique function defined by  F ` , provided that the well-definedness condition holds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
flift.1  F 
ran  X  |->  <. ,  >.
flift.2  X  R
flift.3  X  S
fliftfun.4  C
fliftfun.5  D
Assertion
Ref Expression
fliftfun  Fun  F  X  X  C  D
Distinct variable groups:   ,   ,   , C   ,, R   , D   , F   ,,   , X,   , S,
Allowed substitution hints:   ()   ()    C()    D()    F()

Proof of Theorem fliftfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1418 . . 3  F/
2 flift.1 . . . . 5  F 
ran  X  |->  <. ,  >.
3 nfmpt1 3841 . . . . . 6  F/_  X  |-> 
<. ,  >.
43nfrn 4522 . . . . 5  F/_ ran  X  |-> 
<. ,  >.
52, 4nfcxfr 2172 . . . 4  F/_ F
65nffun 4867 . . 3  F/ Fun  F
7 fveq2 5121 . . . . . . 7  C  F `  F `  C
8 simplr 482 . . . . . . . . 9  Fun  F  X  X 
Fun  F
9 flift.2 . . . . . . . . . . 11  X  R
10 flift.3 . . . . . . . . . . 11  X  S
112, 9, 10fliftel1 5377 . . . . . . . . . 10  X  F
1211ad2ant2r 478 . . . . . . . . 9  Fun  F  X  X  F
13 funbrfv 5155 . . . . . . . . 9  Fun 
F  F  F `
148, 12, 13sylc 56 . . . . . . . 8  Fun  F  X  X  F `
15 simprr 484 . . . . . . . . . . 11  Fun  F  X  X  X
16 eqidd 2038 . . . . . . . . . . 11  Fun  F  X  X 
C  C
17 eqidd 2038 . . . . . . . . . . 11  Fun  F  X  X 
D  D
18 fliftfun.4 . . . . . . . . . . . . . 14  C
1918eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . . 13  C  C  C
20 fliftfun.5 . . . . . . . . . . . . . 14  D
2120eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . . 13  D  D  D
2219, 21anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12  C  D  C  C  D  D
2322rspcev 2650 . . . . . . . . . . 11  X  C  C  D  D  X  C  D
2415, 16, 17, 23syl12anc 1132 . . . . . . . . . 10  Fun  F  X  X  X  C  D
252, 9, 10fliftel 5376 . . . . . . . . . . 11  C F D  X  C  D
2625ad2antrr 457 . . . . . . . . . 10  Fun  F  X  X  C F D  X  C  D
2724, 26mpbird 156 . . . . . . . . 9  Fun  F  X  X 
C F D
28 funbrfv 5155 . . . . . . . . 9  Fun 
F  C F D  F `  C  D
298, 27, 28sylc 56 . . . . . . . 8  Fun  F  X  X  F `  C  D
3014, 29eqeq12d 2051 . . . . . . 7  Fun  F  X  X  F `  F `  C  D
317, 30syl5ib 143 . . . . . 6  Fun  F  X  X  C  D
3231anassrs 380 . . . . 5  Fun  F  X  X  C  D
3332ralrimiva 2386 . . . 4  Fun  F  X  X  C  D
3433exp31 346 . . 3  Fun  F  X  X  C  D
351, 6, 34ralrimd 2391 . 2  Fun  F  X  X  C  D
362, 9, 10fliftel 5376 . . . . . . . . 9  F  X
372, 9, 10fliftel 5376 . . . . . . . . . 10  F  X
3818eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . 12  C
3920eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . 12  D
4038, 39anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  C  D
4140cbvrexv 2528 . . . . . . . . . 10  X  X  C  D
4237, 41syl6bb 185 . . . . . . . . 9  F  X  C  D
4336, 42anbi12d 442 . . . . . . . 8  F  F  X  X  C  D
4443biimpd 132 . . . . . . 7  F  F  X  X  C  D
45 reeanv 2473 . . . . . . . 8  X  X  C  D  X  X  C  D
46 r19.29 2444 . . . . . . . . . 10  X  X  C  D  X  X  C  D  X  X  C  D  X  C  D
47 r19.29 2444 . . . . . . . . . . . 12  X  C  D  X  C  D  X  C  D  C  D
48 eqtr2 2055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  C  C
4948ad2ant2r 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  C  D  C
5049imim1i 54 . . . . . . . . . . . . . . 15  C  D  C  D  D
5150imp 115 . . . . . . . . . . . . . 14  C  D  C  D  D
52 simprlr 490 . . . . . . . . . . . . . 14  C  D  C  D
53 simprrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  C  D  C  D  D
5451, 52, 533eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . . 13  C  D  C  D
5554rexlimivw 2423 . . . . . . . . . . . 12  X  C  D  C  D
5647, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11  X  C  D  X  C  D
5756rexlimivw 2423 . . . . . . . . . 10  X  X  C  D  X  C  D
5846, 57syl 14 . . . . . . . . 9  X  X  C  D  X  X  C  D
5958ex 108 . . . . . . . 8  X  X  C  D  X  X  C  D
6045, 59syl5bir 142 . . . . . . 7  X  X  C  D  X  X  C  D
6144, 60syl9 66 . . . . . 6  X  X  C  D  F  F
6261alrimdv 1753 . . . . 5  X  X  C  D  F  F
6362alrimdv 1753 . . . 4  X  X  C  D  F  F
6463alrimdv 1753 . . 3  X  X  C  D  F  F
652, 9, 10fliftrel 5375 . . . . 5  F  C_  R  X.  S
66 relxp 4390 . . . . 5  Rel  R  X.  S
67 relss 4370 . . . . 5  F 
C_  R  X.  S  Rel  R  X.  S  Rel  F
6865, 66, 67mpisyl 1332 . . . 4  Rel  F
69 dffun2 4855 . . . . 5  Fun 
F  Rel  F  F  F
7069baib 827 . . . 4  Rel 
F  Fun  F  F  F
7168, 70syl 14 . . 3  Fun  F  F  F
7264, 71sylibrd 158 . 2  X  X  C  D  Fun  F
7335, 72impbid 120 1  Fun  F  X  X  C  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755    |-> cmpt 3809    X. cxp 4286   ran crn 4289   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fliftfund  5380  fliftfuns  5381  qliftfun  6124
  Copyright terms: Public domain W3C validator