Theorem elioopnf 8606

Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elioopnf	|- (A e. RR* -> (B e. (A (,) +oo) <-> (B e. RR /\ A < B)))

Proof of Theorem elioopnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 8462	. . 3 |- +oo e. RR*
2		elioo2 8560	. . 3 |- ((A e. RR* /\ +oo e. RR*) -> (B e. (A (,) +oo) <-> (B e. RR /\ A < B /\ B < +oo)))
3	1, 2	mpan2 401	. 2 |- (A e. RR* -> (B e. (A (,) +oo) <-> (B e. RR /\ A < B /\ B < +oo)))
4		df-3an 886	. . 3 |- ((B e. RR /\ A < B /\ B < +oo) <-> ((B e. RR /\ A < B) /\ B < +oo))
5		ltpnf 8472	. . . . 5 |- (B e. RR -> B < +oo)
6	5	adantr 261	. . . 4 |- ((B e. RR /\ A < B) -> B < +oo)
7	6	pm4.71i 371	. . 3 |- ((B e. RR /\ A < B) <-> ((B e. RR /\ A < B) /\ B < +oo))
8	4, 7	bitr4i 176	. 2 |- ((B e. RR /\ A < B /\ B < +oo) <-> (B e. RR /\ A < B))
9	3, 8	syl6bb 185	1 |- (A e. RR* -> (B e. (A (,) +oo) <-> (B e. RR /\ A < B)))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 884   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   RRcr 6710   +oocpnf 6854   RR*cxr 6856   < clt 6857   (,)cioo 8527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-ioo 8531

This theorem is referenced by: (None)