ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfxr Unicode version

Theorem pnfxr 8462
Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
pnfxr +oo  RR*

Proof of Theorem pnfxr
StepHypRef Expression
1 ssun2 3101 . . 3  { +oo , -oo }  C_  RR  u.  { +oo , -oo }
2 df-pnf 6859 . . . . 5 +oo  ~P U. CC
3 cnex 6803 . . . . . . 7  CC  _V
43uniex 4140 . . . . . 6  U. CC  _V
54pwex 3923 . . . . 5  ~P U. CC  _V
62, 5eqeltri 2107 . . . 4 +oo  _V
76prid1 3467 . . 3 +oo  { +oo , -oo }
81, 7sselii 2936 . 2 +oo  RR  u.  { +oo , -oo }
9 df-xr 6861 . 2  RR*  RR  u.  { +oo , -oo }
108, 9eleqtrri 2110 1 +oo  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909   ~Pcpw 3351   {cpr 3368   U.cuni 3571   CCcc 6709   RRcr 6710   +oocpnf 6854   -oocmnf 6855   RR*cxr 6856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-un 4136  ax-cnex 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-pnf 6859  df-xr 6861
This theorem is referenced by:  pnfex  8463  pnfnemnf  8467  xrltnr  8471  ltpnf  8472  mnfltpnf  8476  pnfnlt  8478  pnfge  8480  xrlttri3  8488  nltpnft  8500  xrrebnd  8502  xrre  8503  xrre2  8504  xnegcl  8515  xrex  8526  elioc2  8575  elico2  8576  elicc2  8577  ioomax  8587  iccmax  8588  ioopos  8589  elioopnf  8606  elicopnf  8608  unirnioo  8612  elxrge0  8617
  Copyright terms: Public domain W3C validator