Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dom2lem Unicode version

Theorem dom2lem 6252
 Description: A mapping (first hypothesis) that is one-to-one (second hypothesis) implies its domain is dominated by its codomain. (Contributed by NM, 24-Jul-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
dom2d.1
dom2d.2
Assertion
Ref Expression
dom2lem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dom2lem
StepHypRef Expression
1 dom2d.1 . . . 4
21ralrimiv 2391 . . 3
3 eqid 2040 . . . 4
43fmpt 5319 . . 3
52, 4sylib 127 . 2
61imp 115 . . . . . . 7
73fvmpt2 5254 . . . . . . . 8
87adantll 445 . . . . . . 7
96, 8mpdan 398 . . . . . 6
109adantrr 448 . . . . 5
11 nfv 1421 . . . . . . . 8
12 nffvmpt1 5186 . . . . . . . . 9
1312nfeq1 2187 . . . . . . . 8
1411, 13nfim 1464 . . . . . . 7
15 eleq1 2100 . . . . . . . . . 10
1615anbi2d 437 . . . . . . . . 9
1716imbi1d 220 . . . . . . . 8
1815anbi1d 438 . . . . . . . . . . . 12
19 anidm 376 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19syl6bb 185 . . . . . . . . . . 11
2120anbi2d 437 . . . . . . . . . 10
22 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . 13
2322adantr 261 . . . . . . . . . . . 12
24 dom2d.2 . . . . . . . . . . . . . 14
2524imp 115 . . . . . . . . . . . . 13
2625biimparc 283 . . . . . . . . . . . 12
2723, 26eqeq12d 2054 . . . . . . . . . . 11
2827ex 108 . . . . . . . . . 10
2921, 28sylbird 159 . . . . . . . . 9
3029pm5.74d 171 . . . . . . . 8
3117, 30bitrd 177 . . . . . . 7
3214, 31, 9chvar 1640 . . . . . 6
3332adantrl 447 . . . . 5
3410, 33eqeq12d 2054 . . . 4
3525biimpd 132 . . . 4
3634, 35sylbid 139 . . 3
3736ralrimivva 2401 . 2
38 nfmpt1 3850 . . 3
39 nfcv 2178 . . 3
4038, 39dff13f 5409 . 2
415, 37, 40sylanbrc 394 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1243   wcel 1393  wral 2306   cmpt 3818  wf 4898  wf1 4899  cfv 4902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fv 4910 This theorem is referenced by:  dom2d  6253  dom3d  6254
 Copyright terms: Public domain W3C validator