Theorem bj-omind 10058

Description: om is an inductive class. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-omind	|- Ind om

Proof of Theorem bj-omind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-indint 10055	. 2 |- Ind |^| { x e. _V | Ind x }
2		bj-dfom 10057	. . . 4 |- om = |^| { x | Ind x }
3		rabab 2575	. . . . 5 |- { x e. _V | Ind x } = { x | Ind x }
4	3	inteqi 3619	. . . 4 |- |^| { x e. _V | Ind x } = |^| { x | Ind x }
5	2, 4	eqtr4i 2063	. . 3 |- om = |^| { x e. _V | Ind x }
6		bj-indeq 10053	. . 3 |- ( om = |^| { x e. _V | Ind x } -> (Ind om <-> Ind |^| { x e. _V | Ind x } ) )
7	5, 6	ax-mp 7	. 2 |- (Ind om <-> Ind |^| { x e. _V | Ind x } )
8	1, 7	mpbir 134	1 |- Ind om

Syntax hints:   <-> wb 98   = wceq 1243   {cab 2026   {crab 2310   _Vcvv 2557   |^|cint 3615   omcom 4313  Ind wind 10050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-nul 3883  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-bd0 9933  ax-bdor 9936  ax-bdex 9939  ax-bdeq 9940  ax-bdel 9941  ax-bdsb 9942  ax-bdsep 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-nul 3225  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314  df-bdc 9961  df-bj-ind 10051

This theorem is referenced by:  bj-om  10061  bj-peano2  10063  peano5set  10064