Theorem bj-nalset 9350

Description: nalset 3878 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nalset	|- -. E.xA.y y e. x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem bj-nalset

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexnim 1536	. 2 |- (A.xE.y -. y e. x -> -. E.xA.y y e. x)
2		ax-bdel 9276	. . . . 5 |- BOUNDED z e. z
3	2	ax-bdn 9272	. . . 4 |- BOUNDED -. z e. z
4	3	bdsep1 9340	. . 3 |- E.yA.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z))
5		elequ1 1597	. . . . . 6 |- (z = y -> (z e. y <-> y e. y))
6		elequ1 1597	. . . . . . 7 |- (z = y -> (z e. x <-> y e. x))
7		elequ1 1597	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (z e. z <-> y e. z))
8		elequ2 1598	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (y e. z <-> y e. y))
9	7, 8	bitrd 177	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (z e. z <-> y e. y))
10	9	notbid 591	. . . . . . 7 |- (z = y -> (-. z e. z <-> -. y e. y))
11	6, 10	anbi12d 442	. . . . . 6 |- (z = y -> ((z e. x /\ -. z e. z) <-> (y e. x /\ -. y e. y)))
12	5, 11	bibi12d 224	. . . . 5 |- (z = y -> ((z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) <-> (y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y))))
13	12	spv 1737	. . . 4 |- (A.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> (y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y)))
14		pclem6 1264	. . . 4 |- ((y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y)) -> -. y e. x)
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- (A.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> -. y e. x)
16	4, 15	eximii 1490	. 2 |- E.y -. y e. x
17	1, 16	mpg 1337	1 |- -. E.xA.y y e. x

Syntax hints:  -. wn 3   /\ wa 97   <-> wb 98  A.wal 1240  E.wex 1378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-5 1333  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-bdn 9272  ax-bdel 9276  ax-bdsep 9339

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347

This theorem is referenced by:  bj-vprc  9351